Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ sao cho hàm số $y = \left| {\dfrac{{x + m}}{{x + 1}}} \right|$

Câu hỏi số 651069:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ sao cho hàm số $y = \left| {\dfrac{{x + m}}{{x + 1}}} \right|$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty )$

A. $m < - 1$.

B. $m > 1$.

C. $ - 1 \le m \le 1$.

D. $ - 1 \le m < 1$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:651069

Phương pháp giải

Tính $y'$ và chia 2 trường hợp $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) > 0\forall x \in (1; + \infty )}\\{f(1) \ge 0}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) < 0\forall x \in (1; + \infty )}\\{f(1) \le 0}\end{array}} \right.$

Giải chi tiết

ĐКХĐ: $x \ne - 1$

Đặt $f(x) = \dfrac{{x + m}}{{x + 1}} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{1 - m}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.

Khi đó ta có $y = \left| {f(x)} \right| = \sqrt {{f^2}(x)} \Rightarrow y' = \dfrac{{f'(x)f(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}$

Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty )$ nếu $y' \ge 0\forall x \in (1; + \infty ) \Leftrightarrow f'(x).f(x) \ge 0\forall x \in (1; + \infty )$

TH1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) > 0\forall x \in (1; + \infty )}\\{f(1) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - m > 0}\\{\dfrac{{1 + m}}{2} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m \ge - 1}\end{array} \Leftrightarrow - 1 \le m < 1} \right.} \right.} \right.$

TH2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) < 0\forall x \in (1; + \infty )}\\{f(1) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - m < 0}\\{\dfrac{{1 + m}}{2} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m \le - 1}\end{array} \Leftrightarrow m = \emptyset } \right.} \right.} \right.$

Vậy $m \in [ - 1;1)$ là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.