Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {\dfrac{{x - m}}{{x + m + 3}}} \right|\) đồng biến

Câu hỏi số 651070:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left| {\dfrac{{x - m}}{{x + m + 3}}} \right|\) đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\) ?

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:651070

Phương pháp giải

Tính \(y'\) và chia 2 trường hợp \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) > 0,\forall x \in (2; + \infty )}\\{f(2) \ge 0}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'(x) < 0,\forall x \in (2; + \infty )}\\{f(2) \le 0}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)

Giải chi tiết

Đặt \(f(x) = \dfrac{{x - m}}{{x + m + 3}}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - m - 3\} \).

Ta có \(f'(x) = \dfrac{{2m + 3}}{{{{(x + m + 3)}^2}}}\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\)

\( \Leftrightarrow y' = \dfrac{{f(x).f'(x)}}{{|f(x)|}} \le 0,\forall x \in (2; + \infty ) \Leftrightarrow f(x).f'(x) > 0,\forall x \in (2; + \infty )\)

Trường hợp 1:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(x) > 0,\forall x \in (2; + \infty )}\\{f(2) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 3 > 0}\\{ - m - 3 \le 2}\\{\dfrac{{2 - m}}{{5 + m}} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > - \dfrac{3}{2}}\\{m \ge - 1}\\{ - 5 < m \le 2}\end{array} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.} \right.\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(x) < 0,\forall x \in (2; + \infty )}\\{f(2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 3 < 0}\\{ - m - 3 \le 2}\\{\dfrac{{2 - m}}{{5 + m}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - \dfrac{3}{2}}\\{m \ge - 1}\\{m \ge 2 \vee m < - 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.{\rm{ }}\) (không có m thỏa mãn)

Vậy \( - 1 \le m \le 2\), mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ - 1;0;1;2\} \).

Vậy có 4 số nguyên \(m\) thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.