Cho tam giác \({\rm{ABC}}\), Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{H}}\) là trực tâm tam

Câu hỏi số 653133:

Vận dụng

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\), Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{H}}\) là trực tâm tam giác \({\rm{ABC}}\) chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:653133

Phương pháp giải

Phân tích thành các vecto vuông góc có tích vô hướng bằng 0.

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)

\(\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} ) \Rightarrow \overrightarrow {MH} = - \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )\)

Suy ra \(\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )\)

\( = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {HC} )\)

\(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {HC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {HC} = 0;\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {HB} \Rightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {HB} = 0\)

\( = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot (\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB} ) + \overrightarrow {AC} \cdot (\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC} ))\)

\( = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} )\)

\( = \dfrac{1}{4}(0 - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + 0 + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} ) = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ){\rm{ }}\)

\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \dfrac{1}{4}{\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{vp}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10