Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O), (C khác A, B và CA < CB).

Câu hỏi số 656247:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O), (C khác A, B và CA < CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tai M và N.

1) Chứng minh: Tứ giác \({\rm{CNHD}}\) nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh: \({\rm{CM}} = {\rm{CO}}\).

3) Các đường thẳng \({\rm{AB}}\) và \({\rm{CD}}\) cắt nhau tại \({\rm{E}}\). Chứng minh: \({\rm{EA}}.{\rm{EB}} = {\rm{E}}{{\rm{C}}^2}\).

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết \({\rm{OB}} = 6\;{\rm{cm}},{\rm{BD}} = 8\;{\rm{cm}}\). Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656247

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Chứng minh: Tứ giác \({\rm{CNHD}}\) nội tiếp được trong đường tròn.

Do DC, DB là 2 tiếp tuyến của \((O)\)cắt nhau tại D nên \(DC = DB\) (tính chất)

Mà OC = OB (bằng bán kính)

\( \Rightarrow OD\) là trung trực của BC (tính chất)

\( \Rightarrow OC \bot BC\) tại N \( \Rightarrow \angle DNC = {90^0}\)

Xét tứ giác DCNH có \(\angle DHC = {90^0}\) (\(CH \bot BD\left( {gt} \right)\)) và \(\angle DNC = {90^0}\) (cmt)

Mà H, N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn DC dưới 2 góc bằng nhau

\( \Rightarrow N,F,D,C\) cùng thuộc một đường tròn (dhnb)

Hay tứ giác \({\rm{CNHD}}\) nội tiếp được trong đường tròn (đpcm)

2) Chứng minh: \({\rm{CM}} = {\rm{CO}}\).

Xét tam giác DBC có DN và CH là đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác DBC

\( \Rightarrow CM \bot DC\)

Mà \(CO \bot DC\) (tiếp tuyến) \( \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,CO\)

Lại có \(CH \bot BD\left( {gt} \right),OB \bot BD\) (tiếp tuyến) \( \Rightarrow CM\,{\rm{//}}\,OB\)

\( \Rightarrow OBMC\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow CM = OB\)(tính chất)

Mà \(OB = OC\) (cùng bằng bán kính) nên \(OC = CM\) (đpcm)

3) Các đường thẳng \({\rm{AB}}\) và \({\rm{CD}}\) cắt nhau tại \({\rm{E}}\). Chứng minh: \({\rm{EA}}.{\rm{EB}} = {\rm{E}}{{\rm{C}}^2}\).

Xét \(\Delta EAC\) và \(\Delta ECB\) có:

\(\angle CEA\) chung

\(\angle ECA = \angle ABC\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\( \Rightarrow \Delta EAC \sim \Delta ECB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{EB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Leftrightarrow E{C^2} = EA.EB\) (đpcm)

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết \({\rm{OB}} = 6\;{\rm{cm}},{\rm{BD}} = 8\;{\rm{cm}}\). Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Do \(\Delta OBD\) vuông tại B, đường cao BN nên ta có

\(O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow OD = 10\) (định lý Pytago)

\(B{D^2} = DN.OD \Rightarrow DN = \dfrac{{B{D^2}}}{{OD}} = \dfrac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow N{B^2} = B{D^2} - D{N^2} = {8^2} - 6,{4^2} = 23,04 \Rightarrow BN = 4,8\) (định lý Pytago)

Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón có chiều cao là DN = 6,4 và đáy là đường tròn có bán kính là BN = 4,8

Suy ra thể tích của hình nón bằng \(\dfrac{1}{3}.\pi .B{N^2}.DH = \dfrac{1}{3}\pi .4,{8^2}.6,4 \approx 154,4156c{m^3}\)

Vậy thể tích hình nón khoảng \(154,4156\,c{m^3}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link