Cho điểm 0 thuộc đoạn \({\rm{AB}}\) sao cho \(AB=3.OA\) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ \({\rm{AB}}\),

Câu hỏi số 656844:

Vận dụng

Cho điểm 0 thuộc đoạn \({\rm{AB}}\) sao cho \(AB=3.OA\) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ \({\rm{AB}}\), vẽ các tia \({\rm{Ax}}\), By, Oz cùng vuông góc với AB. Lấy \(M\) thuộc Ax và \(N\) thuộc By sao cho \(ON = 2.OM\).

a) Tính tỉ số diện tích 2 tam giác \({\rm{AOM}}\) và \({\rm{BON}}\)

b) Gọi \({\rm{I}}\) là giao điểm của \({\rm{MN}}\) và \({\rm{Oz}}\). Chứng minh rằng \({\rm{MI}}:{\rm{NI}} = 1:2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656844

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AMO và BNO, tính được BM = 2.AM

Suy ra \(\dfrac{{AO}}{{OB}} = \dfrac{{AM}}{{BN}} = \dfrac{1}{2}\)

Chứng minh \(\Delta AOM\backsim\Delta BON(c - g - c)\), suy ra \(\dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{BON}}}} = {\left( {\dfrac{{OA}}{{OB}}} \right)^2}\)

b) Chứng minh OI là phân giác của góc MON, sử dụng tính chất tia phân giác của MON

Giải chi tiết

a) Có \(\dfrac{{AO}}{{OB}} = \dfrac{{OM}}{{ON}} = \dfrac{1}{2}({\rm{GT}})\)

\( \Rightarrow OB = 2OA;ON = 2OM\)

Áp dụng định lí Pythagore trong \(\Delta OBN\) vuông tại B ta có:

\(\begin{array}{l}O{N^2} = B{N^2} + B{O^2} \Rightarrow B{N^2} = O{N^2} - O{B^2}\\ \Rightarrow B{N^2} = 4.O{M^2} - 4.O{A^2} = 4.\left( {O{M^2} - O{A^2}} \right){\rm{ (1)}}\end{array}\)

Áp dụng định lí Pythagore trong \(\Delta OAM\) vuông tại A ta có:

\(O{M^2} = O{A^2} + A{M^2} \Rightarrow A{M^2} = O{M^2} - O{A^2}\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow B{N^2} = 4.A{M^2} \Rightarrow BN = 2.AM \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BN}} = \dfrac{1}{2}\)

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta BON\) có:

\(\begin{array}{l}\angle MAO = \angle NBO\left( { = {{90}^\circ }} \right);\dfrac{{AO}}{{OB}} = \dfrac{{AM}}{{BN}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \Delta AOM\backsim\Delta BON(c - g - c)\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{BON}}}} = {\left( {\dfrac{{OA}}{{OB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

b) Vì \(\Delta AOM\backsim\Delta BON \Rightarrow \angle MOA = \angle NOB\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \angle MOI = \angle NOI\)

\( \Rightarrow {\rm{OI}}\) là phân giác của \(\angle MON\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{NI}} = \dfrac{{MO}}{{NO}} = \dfrac{1}{2}({\rm{dpcm}})\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link