Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} +

Câu hỏi số 656937:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) và \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( S \right)\) sao cho \(A = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \({x_0} + {y_0} + {z_0}\) bằng

A. 2.

B. -1.

C. -2.

D. 1.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656937

Phương pháp giải

+ Vì \(M \in \left( S \right)\) nên: \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 1} \right)^2} = 9\).

+ Phân tích \(A = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} = \left( {{x_0} - 2} \right) + 2\left( {{y_0} - 1} \right) + 2\left( {{z_0} - 1} \right) + 6\) và áp dụng BĐT Bunhiacopxki, từ đó tìm được GTNN của A, tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra và tìm được cụ thể \({x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}\).

Giải chi tiết

Vì \(M \in \left( S \right)\) nên: \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 1} \right)^2} = 9\).

Ta có: \(A = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} = \left( {{x_0} - 2} \right) + 2\left( {{y_0} - 1} \right) + 2\left( {{z_0} - 1} \right) + 6\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\left( {{x_0} - 2} \right) + 2\left( {{y_0} - 1} \right) + 2\left( {{z_0} - 1} \right)} \right]^2} \le \left( {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{z_0} - 1} \right)}^2}} \right]\\ \Rightarrow {\left[ {\left( {{x_0} - 2} \right) + 2\left( {{y_0} - 1} \right) + 2\left( {{z_0} - 1} \right)} \right]^2} \le 9.9 = 81\\ \Rightarrow - 9 \le \left( {{x_0} - 2} \right) + 2\left( {{y_0} - 1} \right) + 2\left( {{z_0} - 1} \right) \le 9\\ \Rightarrow - 9 \le A - 6 \le 9\\ \Leftrightarrow - 3 \le A \le 15\end{array}\)

\( \Rightarrow {A_{\min }} = - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_0} - 2}}{1} = \dfrac{{{y_0} - 1}}{2} = \dfrac{{{z_0} - 1}}{2}\\{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 1\\{z_0} = - 1\end{array} \right.\).

Vậy khi đó \({x_0} + {y_0} + {z_0} = 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.