Trong không gian Oxyz, cho A(0;0;1), B(0;0;9), Q(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác ABM vuông

Câu hỏi số 656936:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho A(0;0;1), B(0;0;9), Q(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MQ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (4;5).

B. (3;4).

C. (2;3).

D. (1;2).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656936

Phương pháp giải

+ Vì tam giác ABM vuông tại M nên M thuộc mặt cầu đường kính AB (không trùng A hoặc B).

+ Để tam giác ABM có diện tích lớn nhất thì M thuộc đường tròn lớn (C) là giao của mặt cầu với mặt phẳng trung trực của AB. Xác định tâm và bán kính đường tròn (C).

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của Q(3;4;6) lên (P), tìm H.

+ Chứng minh mọi điểm \(M \in \left( C \right) \Rightarrow MH \ge KH\), từ đó tìm GTNN của MQ.

Giải chi tiết

Vì tam giác ABM vuông tại M nên M thuộc mặt cầu đường kính AB (không trùng A hoặc B).

Gọi I là trung điểm của AB => I(0;0;5).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;8} \right) \Rightarrow AB = 8 \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}AB = 4\).

Phương trình mặt cầu đường kính AB là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 16\).

Để tam giác ABM có diện tích lớn nhất thì M thuộc đường tròn lớn (C) là giao của mặt cầu với mặt phẳng trung trực của AB. (C) là đường tròn nhận I(0;0;5) làm tâm, bán kính R = 4.

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(0;0;5) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{8}\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(z = 5\,\,\left( P \right)\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của Q(3;4;6) lên (P): z = 5 => H(3;4;5).

Ta có: \(\overrightarrow {IH} = \left( {3;4;0} \right) \Rightarrow IH = 5 > R = 4\) => Điểm H nằm ngoài đường tròn (C).

Gọi K là giao điểm của IH với (C) sao cho K nằm giữa H và I. Ta có HK = HI – R = 1.

Với mọi điểm \(M \in \left( C \right) \Rightarrow MH \ge KH\), khi đó: \(MQ = \sqrt {Q{H^2} + M{H^2}} \ge \sqrt {Q{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \in \left( {1;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.