Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi N là trung điểm của BC, kẻ

Câu hỏi số 656994:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH và AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi N là trung điểm của BC, kẻ NO vuông góc với AC tại O.

a) Chứng minh AONH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CO.CA = CN.CH.

c) Tính độ dài đường cao NI của tam giác NHO.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656994

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Chứng minh AONH là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác AONH có:

\(\begin{array}{l}\angle AHN = {90^0}\,\,\left( {do\,\,AH \bot BC} \right)\\\angle AON = {90^0}\,\,\left( {do\,\,NO \bot AC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AHN + \angle AON = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà H, O là hai đỉnh kề nhau của tứ giác AONH nên AONH là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh CO.CA = CN.CH.

Xét \(\Delta CON\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ACH\,\,chung\\\angle CON = \angle CHA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta CON \sim \Delta CHA\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CH}} = \dfrac{{CN}}{{CA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow CO.CA = CN.CH\,\,\left( {dpcm} \right)\)

c) Tính độ dài đường cao NI của tam giác NHO.

Kẻ \(NI \bot OH\) tại I.

Xét \(\Delta OIN\) và \(\Delta AHN\) có:

\(\angle NOI = \angle NAH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN của tứ giác nội tiếp AONH).

\(\begin{array}{l}\angle OIN = \angle AHN\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta OIN \sim \Delta AHN\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{HN}} = \dfrac{{ON}}{{AN}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow NI = \dfrac{{ON.HN}}{{AN}}\,\,\left( * \right)\).

Ta có: N là trung điểm của BC (gt)

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\ON \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow ON\parallel AB\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của AC (định lí đường trung bình của tam giác).

=> ON là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,\,\left( {cm} \right)\).

Xét tam giác vuông ABC, đường cao AH:

+) Áp dụng định lí Pytago: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) \( \Rightarrow BC = 10\,\,\left( {cm} \right)\).

\( \Rightarrow BN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,\,\left( {cm} \right)\)

+) AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC \( \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,\,\left( {cm} \right)\)

+) Áp dụng hệ thức lượng: \(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,\left( {cm} \right)\).

\( \Rightarrow HN = BN - BH = 5 - 3,6 = 1,4\,\,\left( {cm} \right)\).

Thay độ dài ON, HN, AN vào (*) ta có: \(NI = \dfrac{{ON.HN}}{{AN}} = \dfrac{{3.1,4}}{5} = 0,84\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy độ dài đường cao NI của tam giác NHO là NI = 0,84 (cm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link