Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại \(O\)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại \(O\) và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại \(K\), tia CM cắt BD tại \(H\). Chứng minh:
a) \(BN \bot CM\);
b) Tứ giác MNHK là hình thoi.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\angle ABD = \angle ACE\) vì cùng phụ với \(\angle BAC\)
Mà BN và MC lần lượt là tia phân giác của \(\angle ABD\) và \(\angle ACE\)
\( \Rightarrow \angle ABN = \angle DBN = \angle ACM = \angle ECM\)
Chứng minh được \(\angle MBO + \angle BMO = {90^\circ }\)\( \Rightarrow \angle BOM = {90^\circ }\)
b) Chứng minh \(\Delta BMO = \Delta BHO\),\(\Delta CNO = \Delta CKO\)(cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\( \Rightarrow OM = OH\)\(,ON = OK\)
Chứng minh MNHK là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
a) Vì tam giác ABD vuông tại \(D\) và tam giác ACE vuông tại \(E\)
\( \Rightarrow \angle ABD + \angle A = \angle ACE + \angle A = {90^\circ }\)
\( \Rightarrow \angle ABD = \angle ACE\)
Mà BN và MC lần lượt là tia phân giác của \(\angle ABD\) và \(\angle ACE\)
\( \Rightarrow \angle ABN = \angle DBN = \angle ACM = \angle ECM\)
Vì \(\Delta \)CEM vuông tại \(E\) \( \Rightarrow \angle ECM + \angle EMC = {90^\circ }\)
\( \Rightarrow \angle ABN + \angle EMC = {90^\circ }\) hay \(\angle MBO + \angle BMO = {90^\circ }\)
\( \Rightarrow \angle BOM = {90^\circ }\)
Vậy \(BN \bot CM\)
b) Xét \(\Delta BMO\) và \(\Delta BHO\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle MBO = \angle BHO\\\angle BOM = \angle BOH = 90^\circ \\OB{\rm{ chung}}\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\Delta BMO = \Delta BHO\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\( \Rightarrow OM = OH\)(hai cạnh tương ứng)
CMTT được:\(\Delta CNO = \Delta CKO{\rm{ }}\)(cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
\( \Rightarrow ON = OK\)(hai cạnh tương ứng)
Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường
\( \Rightarrow MNHK\)là hình bình hành
Mà \(MH \bot NK\) \( \Rightarrow MNHK\)là hình thoi
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
