Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\), đường cao \({\rm{AH}}\), trung tuyến \({\rm{AM}}\). a)

Câu hỏi số 657727:

Vận dụng

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\), đường cao \({\rm{AH}}\), trung tuyến \({\rm{AM}}\).

a) Chứng minh \(\angle BAH = \angle MAC\).

b) Trên đường trung trực Mx của đoạn thẳng \({\rm{BC}}\), lấy điểm \({\rm{D}}\) sao cho \(MD = MA\) (\({\rm{D}}\) và \({\rm{A}}\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \({\rm{BC}}\))

Chứng minh rằng \({\rm{AD}}\) là phân giác của \(\angle MAH\)

c) Từ \({\rm{D}}\) kẻ \({\rm{DE}},{\rm{DF}}\) lần lượt vuông góc với \({\rm{AB}}\) và \({\rm{AC}}\). Tứ giác \({\rm{AEDF}}\) là hình gì?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657727

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Chứng minh được \(\angle MAC = \angle MCA\)

Chứng minh \(\angle BAH = \angle MAC\) vì cùng phụ với \(\angle CBA\)

b) Chứng minh \(\angle HAD = \angle MAD\) vì cùng bằng \(\angle MAD\)

c) Chứng minh \({\rm{AD}}\) là phân giác của \(\angle {\rm{CAB}}\)

Chứng mình AEDF là hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác của một góc thì là hình vuông.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \({\rm{A}}\) có: trung tuyến \({\rm{AM}}({\rm{GT}})\)

\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{MC}} = {\rm{MB}}({\rm{t}}/{\rm{c}}) \Rightarrow \Delta MAC\) cân tại M \( \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA\) (1)

mà \(\angle MCA + \angle CBA = {90^\circ };\angle BAH + \angle CBA = {90^\circ }\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow \angle BAH = \angle MAC\)

b) Vì \({\rm{MD}} = {\rm{MA}} \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại \({\rm{M}} \Rightarrow \angle MAD = \angle ADM\)

Vì \({\rm{AH}}\parallel {\rm{DM}}\) (cùng vuông góc với \({\rm{BC}}\) )

\( \Rightarrow \angle HAD = \angle ADM\) mà \(\angle MAD = \angle ADM\)

\( \Rightarrow \angle HAD = \angle MAD \Rightarrow {\rm{AD}}\) là phân giác của \(\angle MAH\)

c) Ta có \(\angle BAH = \angle MAC(\) theo a)

Mà \( \Rightarrow \angle HAD = \angle MAD\) (theo b)

\( \Rightarrow \angle BAD = \angle DAC\)\( \Rightarrow {\rm{AD}}\) là phân giác của \(\angle {\rm{CAB}}\)

Xét tứ giác \({\rm{AEDF}}\) có: \(\angle E = \angle EAF = \angle AFD = {90^\circ }\)

\( \Rightarrow AEDF\) là hình chữ nhật (dhnb) mà \({\rm{AD}}\) là phân giác của \(\angle {\rm{CAB}}\)

\( \Rightarrow AEDF\)là hình vuông (dhnb)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link