Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại \(J\) và HK vuông góc

Câu hỏi số 657778:

Thông hiểu

Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại \(J\) và HK vuông góc với AC tại \(K\). Trên tia HJ lấy điểm \(D\) sao cho \(DJ = JH\). Trên tia HK lấy điểm \(E\) sao cho \(EK = KH\).

a) Chứng minh \(A\) là trung điểm của DE.

b) Tứ giác AJHK là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh \(BC = BD + CE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657778

Phương pháp giải

a) Chứng minh AD = AE vì cùng bằng AH

Chứng minh A, D, E thẳng hàng vì \(\angle ADE = 180^\circ \)

b) Tứ giác AJHK có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

c) Chứng minh BD = BH, CE = CH

mà BC = BH + CH suy ra điều phải chứng minh

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADJ\) vuông tại \(J\) và \(\Delta AHJ\) vuông tại \(J\) có:

\(DJ = HJ({\rm{gt}}),AJ\) là cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ADJ = \Delta AHJ\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AD = AH\) (hai cạnh tương ứng) và \(\angle JAD = \angle JAH\) (hai góc tương ứng)

CMTT được: \(\Delta AHK = \Delta AEk\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AH = AE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\angle KAH = \angle KAE\) (hai góc tương ứng)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle JAD + \angle JAH + \angle KAH + \angle KAE = 2(\angle JAH + \angle KAH)\\ = 2\angle JAK = {2.90^\circ } = {180^\circ }\end{array}\)

Hay \(\angle DAE = {180^\circ }\) nên ba điểm D, A, E thẳng hàng

Lại có \(AD = AH\) và \(AH = AE\) nên \(AD = AE\)

Do đó \(A\) là trung điểm của DE.

b) Ta có \(AB \bot HE\) tại \(K\) nên \(\angle AJH = {90^\circ }\)

\(AC \bot HE\) tại \(K\) nên \(\angle AKH = {90^\circ }\)

Xét tứ giác AJHK có:

\(\angle AJH = \angle JAK = \angle AKH = {90^\circ }\) nên là hình chữ nhật.

c) Xét \(\Delta BDJ\)vuông tại \(J\) và \(\Delta BHJ\)vuông tại \(J\) có:

\(DJ = HJ\) (gt), BJ là cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta BDJ = \Delta BHJ\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow BD = BH\) (hai cạnh tương ứng)

CMTT được: \(\Delta CHK = \Delta CEK\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow CH = CE\) (hai cạnh tương ứng)

Khi đó \(BC = BH + CH = BD + CE\)

Vậy \(BC = BD + CE\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link