Cho phương trình \({x^2} + 3x + m + 1 = 0\) ( \(m\) là tham số). (1)a) Tìm \(m\) để phương

Câu hỏi số 658242:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 3x + m + 1 = 0\) ( \(m\) là tham số). (1)

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658242

Phương pháp giải

a) Tính \(\Delta \) và cho \(\Delta \ge 0\)

b) Áp dụng hệ thức Viet

Giải chi tiết

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

Do \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có \(\Delta = {3^2} - 4.1\left( {m + 1} \right) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{4}\)

Vậy \(m \le \dfrac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Theo a, với \(m \le \dfrac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}.{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)

Ta có \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{l} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\\ = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + 7m + {x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} + 7m\\ = {\left( { - 3} \right)^2} + m + 1 + 7m\\ = 8m + 10\end{array}\)

\( \Rightarrow P = 8m + 10\)

Với \(m \le \dfrac{5}{4}\)\( \Rightarrow 8m \le 10 \Rightarrow 8m + 10 \le 20 \Leftrightarrow P \le 20\)

Vậy GTLN của \(P = 20\) khi \(m = \dfrac{5}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link