Cho phương trình \({x^2} + 3x + m + 1 = 0\) ( \(m\) là tham số). (1)a) Tìm \(m\) để phương

Câu hỏi số 658242:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 3x + m + 1 = 0\) ( \(m\) là tham số). (1)

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658242

Phương pháp giải

a) Tính \(\Delta \) và cho \(\Delta \ge 0\)

b) Áp dụng hệ thức Viet

Giải chi tiết

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm.

Do \(a = 1 \ne 0\) nên phương trình (1) là phương trình bậc 2

Ta có \(\Delta = {3^2} - 4.1\left( {m + 1} \right) = 9 - 4m - 4 = 5 - 4m\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{4}\)

Vậy \(m \le \dfrac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

Theo a, với \(m \le \dfrac{5}{4}\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}.{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)

Ta có \(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\)

\(\begin{array}{l} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 7m + 5{x_1}{x_2}\\ = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 + 7m + {x_1}{x_2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} + 7m\\ = {\left( { - 3} \right)^2} + m + 1 + 7m\\ = 8m + 10\end{array}\)

\( \Rightarrow P = 8m + 10\)

Với \(m \le \dfrac{5}{4}\)\( \Rightarrow 8m \le 10 \Rightarrow 8m + 10 \le 20 \Leftrightarrow P \le 20\)

Vậy GTLN của \(P = 20\) khi \(m = \dfrac{5}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link