Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với

Câu hỏi số 658295:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của MO và AB, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng MC và đường tròn (O). AI kéo dài cắt MO tại K .

a) Chứng minh tứ giác MAOB là một tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AK vuông góc với IH .

c) Cho biết BC = 2AC = 8 cm. Tính độ dài đoạn thẳng MK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658295

Phương pháp giải

a) Tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)

b) Chứng minh \(\Delta MHI \sim MCO\left( {c.g.c} \right)\) từ đó suy ra \(\angle IAH + \angle IHA = {90^0}\)

c) Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn tính MK

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác MAOB là một tứ giác nội tiếp.

Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot OA,MB \bot OB\) (định nghĩa).

\( \Rightarrow \angle MAO = \angle MBO = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle MAO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà 2 góc này ở vị trí đối điện nên tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Chứng minh AK vuông góc với IH .

Do BC là đường kính của (O) nên \(\angle BIC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BI \bot IC \Rightarrow BI \bot MC\).

\( \Rightarrow \Delta MBC\) vuông tại B có đường cao BI \( \Rightarrow M{B^2} = MI.MC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà MB = MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB (cùng bằng bán kính)

\( \Rightarrow \) MO là trung trực của AB \( \Rightarrow MO \bot AB\) tại H và H là trung điểm của AB.

\( \Rightarrow \) Xét \(\Delta MBO\) vuông tại B, đường cao BH \( \Rightarrow M{B^2} = MH.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MH.MO = MI.MC\,\,\,\left( { = M{B^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{MH}}{{MC}} = \dfrac{{MI}}{{MO}}\end{array}\)

Xét \(\Delta MHI\) và \(\Delta MCO\) có \(\dfrac{{MH}}{{MC}} = \dfrac{{MI}}{{MO}}\,\,\left( {cmt} \right)\) và \(\angle OMC\) chung.

\( \Rightarrow \Delta MHI \sim MCO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MHI = \angle MCO = \angle MCB\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle MCB = \angle IAB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BI)

\( \Rightarrow \angle MHI = \angle IAB \Rightarrow \angle KHI = \angle IAH\).

Mà \(\angle KHI + \angle IHA = \angle KHA = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle IAH + \angle IHA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta HIA\) vuông tại I hay \(HI \bot AK\) (đpcm)

c) Cho biết BC = 2AC = 8 cm. Tính độ dài đoạn thẳng MK.

Ta có: BC = 2AC = 8 cm nên AC = 4cm

Ta có \(\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.

\( \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {8^2} - {4^2} = 48 \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \) (pytago)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\sin \angle ABC = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle ABC = {30^0}\).

\( \Rightarrow \angle MBH = \angle OBM - \angle ABC = {90^0} - {30^0} = {60^0}\).

Lại có \(\Delta MAB\) cân tại M (do MA = MB – cmt)

\( \Rightarrow \Delta MAB\) đều (dhnb) \( \Rightarrow MA = MB = AB = 4\sqrt 3 \) (cm).

Xét tam giác BHM vuông tại H có \(MH = BM.\sin {60^0} = 4\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\).

Xét tam giác MBC vuông tại B \( \Rightarrow \tan \angle BCM = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\angle BCM = \angle BAI = \angle HAK\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \tan \angle HAK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{HK}}{{AH}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}HA = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = 3\).

Vậy MK = HM – HK = 6 – 3 = 3 (cm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link