Cho tam giác ABC không cân và có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (với \(D \in
Cho tam giác ABC không cân và có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (với \(D \in BC\), \(E \in CA\), \(F \in AB\)).
a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(\Delta EAD \sim \Delta EFC\).
c) Kẻ DE cắt đường tròn đường kính AC tại M \(\left( {M \ne D} \right)\); DF cắt đường tròn đường kính AB tại N \(\left( {N \ne D} \right)\). Gọi \(K = FM \cap EN\). Chứng minh rằng AF = AM và đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp.
Ta có: \(\angle AFH = \angle AEH = {90^0}\) (do \(BE \bot AC,\,\,CF \bot AB\)).
\( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Mà 2 đỉnh E, F là hai đỉnh đối diện của tứ giác AFEH.
Vậy AFEH là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh rằng \(\Delta EAD \sim \Delta EFC\).
Xét tứ giác CDHE có:
\(\begin{array}{l}\angle CEH = \angle CDH = {90^0}\,\,\left( {do\,\,AD \bot BC,\,\,BE \bot AC} \right)\\ \Rightarrow \angle CEH + \angle CDH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)
Mà 2 đỉnh E, D là hai đỉnh đối diện của tứ giác CDHE.
\( \Rightarrow \) CDHE là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle HCE = \angle HDE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
\( \Rightarrow \angle FCE = \angle ADE\).
Vì AFEH nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle HAE = \angle HFE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
\( \Rightarrow \angle DAE = \angle CFE\)
Xét \(\Delta EAD\) và \(\Delta EFC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle ADE = \angle FCE\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = \angle CFE\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta EAD \sim \Delta EFC\,\,\left( {g.g} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) Kẻ DE cắt đường tròn đường kính AC tại M \(\left( {M \ne D} \right)\); DF cắt đường tròn đường kính AB tại N \(\left( {N \ne D} \right)\). Gọi \(K = FM \cap EN\). Chứng minh rằng AF = AM và đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
+) Chứng minh AF = AM.
Xét đường tròn đường kính AC ta có:
\(\angle AMF = \angle ACF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF).
\(\angle AFM = \angle ADM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
Mà \(\angle FCE = \angle ADE\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ACF = \angle ADM\).
\( \Rightarrow \angle AMF = \angle AFM \Rightarrow \Delta AMF\) cân tại A (định nghĩa) \( \Rightarrow AF = AM\) (tính chất tam giác cân) (đpcm).
+) Chứng minh đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Xét tứ giác BDHF có: \(\angle BFH = \angle BDH = {90^0}\,\,\left( {do\,\,CF \bot AB,\,\,AD \bot BC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle BFH + \angle BDH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà 2 đỉnh F, D là hai đỉnh đối diện của tứ giác BDHF
\( \Rightarrow \) BDHF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle FBH = \angle FDH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH)
\( \Rightarrow \angle ABE = \angle ADN\).
Tương tự xét đường tròn đường kính AB ta có:
\(\angle ANE = \angle ABE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE).
\(\angle AEN = \angle ADN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN).
Mà \(\angle ABE = \angle AND\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ANE = \angle AEN \Rightarrow \Delta ANE\) cân tại A (định nghĩa)
\( \Rightarrow AE = AN\) (tính chất tam giác cân)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và AB
=> I, J lần lượt là tâm đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính AB.
Vì AM = AF (cmt) \( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của FM.
Vì IM = IF (do I là tâm đường tròn đường kính AC) \( \Rightarrow I\) thuộc trung trực của FM.
\( \Rightarrow IA\) là trung trực của FM \( \Rightarrow IA \bot FM \Rightarrow FK \bot AC\).
Mà \(HE \bot AC\,\,\left( {do\,\,BE \bot AC} \right)\).
\( \Rightarrow \) FK // HE (từ vuông góc đến song song) (1)
Vì AE = AN (cmt) \( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của EN.
Vì JE = JN (do J là tâm đường tròn đường kính AB) \( \Rightarrow J\) thuộc trung trực của AN.
\( \Rightarrow JA\) là trung trực của EN \( \Rightarrow JA \bot EN \Rightarrow EK \bot AB\).
Mà \(HF \bot AB\,\,\left( {do\,\,CF \bot AB} \right)\)
\( \Rightarrow \) EK // HF (từ vuông góc đến song song) (2)
Từ (1) và (2) => EHFK là hình bình hành (dhnb)
=> Hai đường chéo EF và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy EF đi qua trung điểm của HK (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
