Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:\(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} +

Câu hỏi số 658579:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge \dfrac{3}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658579

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} = \dfrac{{a\left( {{a^2} + b} \right) - ab}}{{{a^2} + b}} = a - \dfrac{{ab}}{{{a^2} + b}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({a^2} + b \ge 2\sqrt {{a^2}b} = 2a\sqrt b \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{{a^2} + b}} \le \dfrac{{ab}}{{2a\sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt b }}{2}\\ \Rightarrow a - \dfrac{{ab}}{{{a^2} + b}} \ge a - \dfrac{{\sqrt b }}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} \ge a - \dfrac{{\sqrt b }}{2}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} \ge b - \dfrac{{\sqrt c }}{2}\\\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge c - \dfrac{{\sqrt a }}{2}\end{array}\)

Cộng vế theo vế ba bất phương trình ta được:

\(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c }}{2} = 3 - \dfrac{{\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c }}{2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\({\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \le 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9 \Rightarrow \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \le 3\).

Vậy \(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link