Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E (D khác B và E khác C). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD.
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh \(C{E^2} = BC.MC\) và ba điểm B, I, P thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle ADH = \angle AEH = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle ADH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh \(C{E^2} = BC.MC\) và ba điểm B, I, P thẳng hàng.
+) Chứng minh CE2 = BC.MC.
Xét tam giác ABC có: \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BE \bot AC,\,\,CD \bot AB\).
Mà \(BE \cap CD = \left\{ H \right\} \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác ABC.
\( \Rightarrow AH \bot BC\) tại F \( \Rightarrow AF \bot BC \Rightarrow \angle BFH = {90^0}\).
Xét tứ giác BFHD có: \(\angle BFH + \angle BDH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow BFHD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle DFH = \angle DBH = \angle DBE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)
Mà \(\angle DBE = \angle DKE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)
\( \Rightarrow \angle DFH = \angle DKE\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
\( \Rightarrow FP//KE \Rightarrow AF//KE\) (dhnb).
Mà \(AF \bot BC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow KE \bot BC\) tại M \( \Rightarrow EM \bot BC\).
Xét tam giác BCE vuông tại E, đường cao EM có: \(C{E^2} = BC.MC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).
+) Chứng minh ba điểm B, I, P thẳng hàng.
Xét \(\Delta CHF\) và \(\Delta CBD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle CFH = \angle CDB = {90^0}\\\angle BCD\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta CHF \sim \Delta CBD\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CB}} = \dfrac{{CF}}{{CD}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow CH.CD = CB.CF\) (1)
Ta có: \(\angle CPB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta CBP\) vuông tại P.
Xét tam giác CBP vuông tại P, đường cao PF có:
\(C{P^2} = CB.CF\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CH.CD = C{P^2} \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CP}} = \dfrac{{CP}}{{CD}}\).
Xét \(\Delta CHP\) và \(\Delta CPD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle PCD\,\,chung\\\dfrac{{CH}}{{CP}} = \dfrac{{CP}}{{CD}}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta CHP \sim \Delta CPD\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle HPC = \angle PDC = \angle PDH\) (2 góc tương ứng).
Ta có \(\angle HPI = \dfrac{{{{180}^0} - \angle HIP}}{2} = {90^0} - \dfrac{{\angle HIP}}{2} = {90^0} - \angle PDH\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung HP)
\( \Rightarrow \angle HIP = {90^0} - \angle HPC \Leftrightarrow \angle HIP + \angle HPC = {90^0} \Leftrightarrow \angle CPI = {90^0}\)
\( \Rightarrow IP \bot PC\) (3)
Mà \(\angle CPB = {90^0}\) (cmt) \( \Rightarrow BP \bot PC\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow B,\,\,I,\,\,P\) thẳng hàng (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
