Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị (P).a) Vẽ đồ thị (P).b) Đường thẳng \(y = -

Câu hỏi số 659715:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Đường thẳng \(y = - x + b\) (với b > 0) lần lượt cắt Ox, Oy tại E, F. Chứng minh rằng tam giác OEF vuông cân và tìm b để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là một điểm thuộc (P), với O là gốc tọa độ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:659715

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Vẽ đồ thị (P).

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;2} \right);B\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right);\,\,C\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right);\,\,D\left( {2;2} \right)\)

Hệ số \(a = \dfrac{1}{2} > 0\)nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) như sau:

b) Đường thẳng \(y = - x + b\) (với b > 0) lần lượt cắt Ox, Oy tại E, F. Chứng minh rằng tam giác OEF vuông cân và tìm b để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là một điểm thuộc (P), với O là gốc tọa độ.

Cho \(y = 0 \Rightarrow - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b\)

=> Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt Ox tại E(b;0).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b\)

=> Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt Oy tại F(0;b).

Xét \(\Delta OEF\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot OF\,\,\left( {do\,\,Ox \bot Oy} \right)\\OE = OF = b\,\,\left( {do\,\,b > 0} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta OEF\) vuông cân tại O.

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là trung điểm cạnh huyền EF.

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\)là H.

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên Ox, Oy.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot Ox\\OF \bot Ox\end{array} \right. \Rightarrow HM//OF\) (từ vuông góc đến song song).

Mà H là trung điểm của EF => M là trung điểm của OE (Tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của tam giác OEF \( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}OF = \dfrac{b}{2}\).

Chứng minh tương tự ta tính được \(HN = \dfrac{b}{2}\).

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{b}{2};\dfrac{b}{2}} \right)\).

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là một điểm thuộc (P) \( \Leftrightarrow H\left( {\dfrac{b}{2};\dfrac{b}{2}} \right) \in (P)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{b}{2} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{b}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{2} = \dfrac{{{b^2}}}{8}\\ \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\\ \Leftrightarrow b(b - 4) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(L)\\b = 4\,\,(TM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(b = 4\)là giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link