Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên đoạn thẳng OB lấy điểm C sao cho C không trùng với O
Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên đoạn thẳng OB lấy điểm C sao cho C không trùng với O và B. Gọi H là trung điểm của AC, kẻ dây cung DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại H. Gọi K là giao điểm của BD với đường tròn đường kính BC.
a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.
Ta có:
\(DHC = {90^0}\) (gt) nên tam giác HCD vuông tại H => \(\Delta HCD\) nội tiếp đường tròn đường kính CD. (1)
Gọi G là tâm đường tròn đường kính BC.
Do \(K \in (G)\) nên \(\angle BKC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tam giác KCD có \(\angle CKD = {90^o}\,( = \angle BKC)\) nên tam giác CKD vuông tại K => \(\Delta CKD\) nội tiếp đường tròn đường kính CD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác DHCK nội tiếp đường tròn đường kính CD hay tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
Vì \(AC \bot DE\) tại H => H là trung điểm của DE (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung.
Xét tứ giác ADCE có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH = HC\,\,\left( {gt} \right)\\DH = HE\,\,\left( {cmt} \right)\\AC \bot DE\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) => ADCE là hình thoi (dhnb).
=> AD = DC = CE = AE
Xét tam giác ADC có AD = DC => tam giác ADC cân tại D \( \Rightarrow \angle DAC = \angle DCA\) (hai góc ở đáy).
Mà \(\angle DAC = \dfrac{1}{2}sdcDB\) \( \Rightarrow \angle DCA = \dfrac{1}{2}sdcDB\,\,\left( 3 \right)\)
Tương tự ta có \(\angle ACE = \dfrac{1}{2}sdcBE\) (4)
Ta có: \(\angle HDK = \dfrac{1}{2}sdcBE\) (5) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
Từ (3), (4) và (5) ta có \(\angle DCA = \angle ACE = \angle HDK\).
Xét tứ giác DHCK có: \(\angle HDK + \angle KCH = {180^0}\) (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle HDK = \angle ACE\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle ACE + \angle KCH = {180^0} \Rightarrow \angle ECK = {180^0}\)
Vậy E, C, K thẳng hàng (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
