Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol

Câu hỏi số 659730:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)(m là tham số).

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:659730

Phương pháp giải

a) Chứng minh phương trình toạ độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Sử dụng định lí Vi – ét.

Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = {X_1} + {X_2} = \dfrac{{ - b}}{a}}\\{P = {x_1} \cdot {X_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta được:

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\) (1)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt (đpcm).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Từ giả thiết: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

\(\dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{{m^2} - 1}} + 1\) (ĐK: \(m \ne \pm 1\))

\(\dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{{m^2} - 1}} + \dfrac{{{m^2} - 1}}{{{m^2} - 1}}\)

\(2m = - 2 + {m^2} - 1\)

\({m^2} - 2m - 3 = 0\)

\(\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1\left( {ktm} \right)}\\{m = 3\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = 3.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link