Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD = 1\) và hai mặt phẳng \(\left( {ADB} \right)\) và \(\left( {ADC} \right)\)

Câu hỏi số 663070:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD = 1\) và hai mặt phẳng \(\left( {ADB} \right)\) và \(\left( {ADC} \right)\) vuông góc. Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ADE} \right)\) và \(\left( {ADC} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Nếu tam giác \(ADE\) là tam giác đều thì thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) là

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(\dfrac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663070

Phương pháp giải

Trong (ADB) kẻ \(BH \bot AD\). Chứng minh \(BH \bot \left( {ACD} \right)\) và H là trung điểm của AD.

Giải chi tiết

Trong (ADB) kẻ \(BH \bot AD\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABD} \right) \bot \left( {ACD} \right)\\\left( {ABD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AD\\BH \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACD} \right) \Rightarrow BH \bot CH\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BH\\AD \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {BHC} \right) \Rightarrow AD \bot HE\)

Mà \(\Delta ADE\) đều \( \Rightarrow H\) là trung điểm của AD

\(\angle \left( {\left( {ADE} \right),\left( {ACD} \right)} \right) = \angle \left( {HE,HC} \right) = \angle EHC = {30^0}\)

Trong (BHC) kẻ \(EM\parallel BH \Rightarrow EM \bot HC\) và M là trung điểm HC

\(\Delta AED\) đều cạnh 1 nên \(HE = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EM = HE.\sin {30^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\\HM = HE.\cos {30^0} = \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH = 2EM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\HC = 2HM = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.BH.{S_{ACD}} = \dfrac{1}{3}.BH.\dfrac{1}{2}.HC.AD = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{3}{2}.1 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.