Trên tập số phức xét phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 663349:

Vận dụng cao

Trên tập số phức xét phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số thực \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1} \right| = 2,\left| {{z_2} - 3 - 2i} \right| = 3\) ?

A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 6.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663349

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{\Delta }} = {a^2} - 4b\)

Trường hợp 1: \({\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b > 0\) phương trình có hai nghiệm thực phân biệt \({z_1},{z_2}\). Khi đó:

\({\left| {{z_1} + 1} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + 1 = 2}\\{{z_1} + 1 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 1}\\{{z_1} = - 3}\end{array}} \right.} \right.\).

\(\left| {{z_2} - 3 - 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{z_2} - 3} \right)^2} + {( - 2)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{z_2} - 3} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_2} = 3 + \sqrt 5 }\\{{z_2} = 2 - \sqrt 5 }\end{array}} \right.\)

Vậy có 4 cặp nghiệm \(\left( {{z_1},{z_2}} \right)\) nên có 4 cặp \(\left( {a,b} \right)\) tương ứng.

Trường họ̣p 2: \({\rm{\Delta }} < 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4b < 0\). Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp \({z_1} = x + yi,{z_2} = x - yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {y^2} = 4}\\{{{(x - 3)}^2} + {{(y - 2)}^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - 2x = 3}\\{{x^2} + {y^2} - 6x - 4y = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 4y - 7 = 0\left( d \right)}\\{{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\left( C \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Xét đường tròn \(\left( C \right)\) : Tâm \(I\left( {1;0} \right),R = 2\)

Ta có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {4 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{8} < R = 2\)

Suy ra đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có 2 điểm chung. Nên hệ \(\left( I \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

Suy ra có 2 cặp \(\left( {{z_1},{z_2}} \right)\) nên có 2 cặp \(\left( {a,b} \right)\) tương ứng.

Vậy có 6 cặp \(\left( {a,b} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.