Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất một giá trị \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\) thoả mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^3} - 9{x^2} + 24x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)\). Số phần tử của \(S\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 9{x^2} + 24x + y > 0}\\{ - {x^2} + 8x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 6}\end{array}} \right.\)
Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^3} - 9{x^2} + 24x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + 24x + y = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow y = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} - {x^3} + 9{x^2} - 24x\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} - {x^3} + 9{x^2} - 24x\) với \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{{ - 2x + 8}}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} - 3{x^2} + 18x - 24\)
\( = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{{ - 2\left( {x - 4} \right)}}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} - 3\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\)
\( = - \left( {x - 4} \right)\left[ {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{2}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} + 3\left( {x - 2} \right)} \right]\)
Vì \(2 < x < 6\) nên \({3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{2}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} + 3\left( {x - 2} \right) > 0\)
Do đó, \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4\).
Bảng biến thiên
Để với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất một giá trị \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\) thì \(y = - 7\) hoặc \( - 23,7 \le y < - 16,95\).
Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ { - 7; - 23; - 22; \ldots ; - 17} \right\}\).
Vậy tập \(S\) có 8 phần tử.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
