Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất một giá trị \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\) thoả mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^3} - 9{x^2} + 24x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)\). Số phần tử của \(S\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 9{x^2} + 24x + y > 0}\\{ - {x^2} + 8x - 12 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 6}\end{array}} \right.\)
Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^3} - 9{x^2} + 24x + y} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 9{x^2} + 24x + y = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow y = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} - {x^3} + 9{x^2} - 24x\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} - {x^3} + 9{x^2} - 24x\) với \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{{ - 2x + 8}}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} - 3{x^2} + 18x - 24\)
\( = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{{ - 2\left( {x - 4} \right)}}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} - 3\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\)
\( = - \left( {x - 4} \right)\left[ {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{2}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} + 3\left( {x - 2} \right)} \right]\)
Vì \(2 < x < 6\) nên \({3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right)}} \cdot {\rm{ln}}3 \cdot \dfrac{2}{{\left( { - {x^2} + 8x - 12} \right) \cdot {\rm{ln}}2}} + 3\left( {x - 2} \right) > 0\)
Do đó, \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4\).
Bảng biến thiên
Để với mỗi \(y\), tồn tại duy nhất một giá trị \(x \in \left[ { \dfrac{5}{2}; \dfrac{{11}}{2}} \right]\) thì \(y = - 7\) hoặc \( - 23,7 \le y < - 16,95\).
Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ { - 7; - 23; - 22; \ldots ; - 17} \right\}\).
Vậy tập \(S\) có 8 phần tử.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
