Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z

Câu hỏi số 663546:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 8\) và \(ab \ge 0\). Xét \({z_1}\) và \({z_2}\) thuộc \(S\) sao cho \( \dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + i}}\) là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {{z_1} + 4i} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. 4.

B. \(4\sqrt 2 \).

C. \(4\sqrt 5 \).

D. \(4 + 4\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663546

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Từ giả thiết suy ra \(\left| a \right| + \left| b \right| = 4 \Rightarrow a + b = \pm 4\) (do \(ab \ge 0\) )

Đặt \({z_1} = {a_1} + i{b_1},{z_2} = {a_2} + i{b_2};\left( {{a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R}} \right)\).

Do \( \dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + i}}\) là số thực dương nên \({a_1} - {a_2} = {b_1} - {b_2}\) và \({a_1} + {b_1} > {a_2} + {b_2}\)

Do đó \({a_1} + {b_1} = 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_2} = {a_1} - 4}\\{{b_2} = {a_1}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {z_1} = x + \left( {4 - x} \right)i,{z_2} = x - 4 + xi\)

Vậy \(\left| {{z_1} + 4i} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(8 - x)}^2}} + \sqrt {{{(x - 4)}^2} + {x^2}} \ge \sqrt {{4^2} + {8^2}} = 4\sqrt 5 \)

Dấu "=" xảy ra khi \(x = \dfrac{8}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.