Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 1)^2} = 4\) và

Câu hỏi số 663548:

Nhận biết

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 1)^2} = 4\) và đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\), nhận \(\vec u = \left( {1;a;3 - a} \right)\) (với \(a \in \mathbb{R}\) ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi \({a^2}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { \dfrac{{13}}{2}; \dfrac{{15}}{2}} \right)\).

B. \(\left( {24; \dfrac{{49}}{2}} \right)\).

C. \(\left( { \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}} \right)\).

D. \(\left( { \dfrac{{31}}{2}; \dfrac{{33}}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663548

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\)

Gọi \(B,C\) là giao điểm giữa \(d\) và \(\left( S \right)\), và \(O\) là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.

Theo đề \(d\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác \(OBIC\) là hình vuông, từ đó suy ra \(BC = 2\sqrt 2 \)

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(BH = \dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 2 \)

Kẻ \(IH \bot BC\), ta có \(IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}} = \sqrt 2 \)

Từ đó ta có \(d\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \)

Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {0; - 2;1} \right),\vec u = \left( {1;a;3 - a} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AI} ;\vec u} \right] = \left( {a - 6;1;2} \right)\)

Từ đó \({\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ;\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{(a - 6)}^2} + {1^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + {a^2} + {{(3 - a)}^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} = 7 \in \left( { \dfrac{{13}}{2}; \dfrac{{15}}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.