Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có

Câu hỏi số 663549:
Vận dụng cao

Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1} \right| = 2\) và \(\left| {{z_2} - 2 + 3i} \right| = 3\) ?

 

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:663549
Phương pháp giải

 

 
Giải chi tiết

\({z^2} + az + b = 0\)

\({\rm{\Delta }} = {a^2} - 4b\).

Trường hợp 1: \({\rm{\Delta }} > 0\), phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} - 1} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} - 2 + 3i} \right| = 3}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} - 1 = 2}\\{{z_1} - 1 =  - 2}\end{array}} \right.}\\{\sqrt {{{\left( {{z_2} - 2} \right)}^2} + 9}  = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 3}\\{{z_1} =  - 1}\end{array}} \right.}\\{{z_2} = 2}\end{array}} \right.\)

Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 3}\\{{z_2} = 2}\end{array}} \right.\), khi đó theo Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - 5}\\{b = {z_1} \cdot {z_2} = 6}\end{array}} \right.\) (nhận)

Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} =  - 1}\\{{z_2} = 2}\end{array}} \right.\), khi đó theo Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - 1}\\{b = {z_1} \cdot {z_2} =  - 2}\end{array}} \right.\) (nhận)

Trường hợp \({\rm{\Delta }} < 0\), phương trình có 2 nghiệm không thực. Khi đó ta có \({z_2} = \overline {{z_1}} \).

Gọi \({z_1} = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow {z_2} = x - yi\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {y^2} = 4}\\{{{(x - 2)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {y^2} = 4}\\{2x + 6y = 7}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}}}\\{y =  \dfrac{{15 - 3\sqrt {15} }}{{20}}}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}}}\\{x =  \dfrac{{15 + 3\sqrt {15} }}{{20}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Do đó ta có. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} =  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}} +  \dfrac{{15 - 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\\{{z_2} =  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}} -  \dfrac{{15 - 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\\{{z_1} =  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}} +  \dfrac{{15 + 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\\{{z_2} =  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}} -  \dfrac{{15 + 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).

Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} =  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}} +  \dfrac{{15 - 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\\{{z_2} =  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}} -  \dfrac{{15 - 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  -  \dfrac{{25 + 9\sqrt {15} }}{{20}}}\\{b =  \dfrac{{55 + 9\sqrt {15} }}{{10}}}\end{array}} \right.\) (nhận)

Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} =  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}} +  \dfrac{{15 + 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\\{{z_2} =  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}} -  \dfrac{{15 + 3\sqrt {15} }}{{20}}i}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  -  \dfrac{{25 - 9\sqrt {15} }}{{20}}}\\{b =  \dfrac{{55 - 9\sqrt {15} }}{{10}}}\end{array}} \right.\) (Nhận)

 
Chú ý khi giải

 

 

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn