Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x + \dfrac{{17}}{4}} }

Câu hỏi số 666786:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x + \dfrac{{17}}{4}} } \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = f\left( {\dfrac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2025}}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{{2024}}{{2025}}} \right)\).

A. T = 1012.

B. T = 2024.

C. \(T = \dfrac{{2025}}{2}\).

D. T = 2025.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666786

Phương pháp giải

Tính tổng \(f\left( t \right) + f\left( {1 - t} \right)\), sử dụng biểu thức liên hợp.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x + \dfrac{{17}}{4}} } \right)\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + 4} } \right)\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 4} } \right)\end{array}\)

Đặt \(t = x - \dfrac{1}{2} \Rightarrow f\left( t \right) = {\log _2}\left( {t + \sqrt {{t^2} + 4} } \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) + f\left( {1 - t} \right) = {\log _2}\left( {t + \sqrt {{t^2} + 4} } \right) + {\log _2}\left( { - t + \sqrt {{t^2} + 4} } \right)\\ = {\log _2}\left( {t + \sqrt {{t^2} + 4} } \right)\left( { - t + \sqrt {{t^2} + 4} } \right) = {\log _2}\left( {{t^2} + 4 - {t^2}} \right) = {\log _2}4 = 2\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}T = f\left( {\dfrac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2025}}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{{2024}}{{2025}}} \right)\\T = \left[ {f\left( {\dfrac{1}{{2025}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2024}}{{2025}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\dfrac{2}{{2025}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2023}}{{2025}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\dfrac{{1012}}{{2025}}} \right) + f\left( {\dfrac{{1013}}{{2025}}} \right)} \right]\\T = 2 + 2 + ... + 2\\T = 2.1012 = 2024\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.