Có tất cả bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,{\rm{ }}y\) là các số nguyên dương

Câu hỏi số 667686:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,{\rm{ }}y\) là các số nguyên dương thỏa mãn

\({\log _3}\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^3} = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y - 1} \right) + 1\)

A. 6.

B. 2.

C. 4.

D. Vô số.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667686

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đánh giá

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^3} = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y - 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 3xy + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + {x^3} + {y^3} = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 3xy + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + {x^3} + {y^3} - 3{x^2} - 3{y^2} + 3xy - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} + 3x\left( {y - 1} \right) = 3{y^2} - {y^3}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y \in \mathbb{N}* \Rightarrow x \ge 1,\,\,y \ge 1\)

Do đó \({\log _3}\left( {x + y} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} + 3x\left( {y - 1} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{y^2} - {y^3} > 0\\ \Rightarrow {y^2}\left( {3 - y} \right) > 0\\ \Rightarrow 3 - y > 0\\ \Rightarrow y < 3\end{array}\)

Mà \(y \in \mathbb{N}* \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Với \(y = 1\) ta có \({\log _3}\left( {x + 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} = 2\)

+ Nếu \(x = 1 \Rightarrow {\log _3}2 = 2\,\,\left( {{\rm{v\ll l\'Y }}} \right)\)

+ Nếu \(x = 2 \Rightarrow {\log _3}3 + 1 = 2\,\,\left( {TM} \right)\)

+ Nếu \(x > 2 \Rightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} > {\log _3}3 + {1^3} = 2\) (loại)

Với \(y = 2\) ta có \({\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} + 3x = 4\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow {\log _3}3 + 3 = 4\,\,\left( {TM} \right)\)

Nếu \(x > 1 \Rightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3} + 3x > {\log _3}3 + 3 = 4\) (loại)

Vậy có các cặp số \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1,2} \right),\,\,\left( {2,1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.