Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - \left( {m + 16}

Câu hỏi số 668208:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - \left( {m + 16} \right)x - m,\forall x \in \mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{3}f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + \left( {{x^3} - 3x} \right)m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = g'\left( x \right)\) và trục \(Ox\) có đúng 9 điểm chung?

A. 38

B. 40

C. 32

D. 39

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668208

Phương pháp giải

Tính \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 3m = 0 & \left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = - 3m\) và tìm m để pt có 7 nghiệm

Giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - \left( {m + 16} \right)x - m,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{3}f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + \left( {{x^3} - 3x} \right)m\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)m\\ = \left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 3m} \right]\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 3m = 0 & \left( 1 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) = - 3m\end{array}\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = - 3m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^3} + 6{t^2} - \left( {m + 16} \right)t - m = - 3m\\ \Leftrightarrow {t^3} + 6{t^2} - \left( {m + 16} \right)t = - 2m\\ \Leftrightarrow {t^3} + 6{t^2} - 16t = - 2m + mt\\ \Leftrightarrow {t^3} + 6{t^2} - 16t = \left( {t - 2} \right).m\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 8t} \right) = \left( {t - 2} \right).m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\m = {t^2} + 8t\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 2 \Rightarrow {x^3} - 3x + 1 = 2 \Rightarrow \) có 3 nghiệm phân biệt

Với \(m = {t^2} + 8t\) (2)

Để \(g'\left( x \right) = 0\) có 9 nghiệm thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

\( \Rightarrow \) (2) có 1 nghiệm \(t \in \left( { - 1,3} \right)\) thỏa mãn \(t \ne 2\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6, - 5,...,32} \right\}\backslash \left\{ {20} \right\}\)

Vậy có tất cả 38 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.