Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm

Câu hỏi số 668494:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1. Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho \(2OA + OB = 2OC\). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\).

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668494

Phương pháp giải

OABC là tứ diện vuông nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là \(R = \dfrac{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} }}{2}\).

Giải chi tiết

OABC là tứ diện vuông nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

\(R = \dfrac{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + 1} }}{2}\)

Theo giả thiết: \(2OA + OB = 2OC \Rightarrow 2OA + OB = 2 \Rightarrow OB = 2 - 2OA\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {O{A^2} + {{\left( {2 - 2OA} \right)}^2} + 1} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {5O{A^2} - 8OA + 5} }}{2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}5O{A^2} - 8OA + 5 = 5\left( {O{A^2} - \dfrac{8}{5}OA + 1} \right)\\ = 5\left( {O{A^2} - 2.OA.\dfrac{4}{5} + \dfrac{{16}}{{25}} + \dfrac{9}{{25}}} \right)\\ = 5{\left( {OA - \dfrac{4}{5}} \right)^2} + \dfrac{9}{5} \ge \dfrac{9}{5}\end{array}\)

Vậy \(R \ge \dfrac{{\sqrt {\dfrac{9}{5}} }}{2} = \dfrac{3}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.