Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá

Câu hỏi số 668503:

Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá trị x thuộc \(\left[ {1;\dfrac{7}{2}} \right]\) thoả mãn \({\log _6}\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right) = {\log _4}\left( {4x - {x^2}} \right)\). Số phần tử của S là:

A. 32.

B. 31.

C. 33.

D. 34.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668503

Phương pháp giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _6}\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right) - {\log _4}\left( {4x - {x^2}} \right)\), lập BBT của hàm số và tìm điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y > 0\\4x - {x^2} > 0\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _6}\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right) - {\log _4}\left( {4x - {x^2}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{12{x^2} - 30x + 12}}{{\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right)\ln 6}} - \dfrac{{4 - 2x}}{{\left( {4x - {x^2}} \right)\ln 4}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right)\ln 6}} + \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {4x - {x^2}} \right)\ln 4}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left[ {\dfrac{{6\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right)\ln 6}} + \dfrac{2}{{\left( {4x - {x^2}} \right)\ln 4}}} \right]\end{array}\)

Với \(x \in \left[ {1;\dfrac{7}{2}} \right]\) thì dễ thấy \(\dfrac{{6\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {4{x^3} - 15{x^2} + 12x + y} \right)\ln 6}} + \dfrac{2}{{\left( {4x - {x^2}} \right)\ln 4}} > 0\) nên \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 2 \right) = {\log _6}\left( {y - 4} \right) - 1\\f\left( 1 \right) = {\log _6}\left( {y + 1} \right) - {\log _4}3\\f\left( {\dfrac{7}{2}} \right) = {\log _6}\left( {y + \dfrac{{119}}{4}} \right) - {\log _4}\dfrac{7}{4}\end{array}\)

BBT hàm số \(f\left( x \right)\):

TH1: \(f\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _6}\left( {y - 4} \right) - 1 > 0 \Leftrightarrow y > 10\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.

TH2: \(f\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow y = 10\) \( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)

TH3: \(f\left( 2 \right) < 0\) hoặc \(x = 2\) không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) < 0\\f\left( {\dfrac{7}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {y + 1} \right) - {\log _4}3 < 0\\{\log _6}\left( {y + \dfrac{{119}}{4}} \right) - {\log _4}\dfrac{7}{4} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y < 3,13\\y \ge - 27,7\end{array} \right.\).

Mà y là số nguyên nên \(y \in \left\{ { - 27; - 26;...;3} \right\}\) nên có 31 giá trị nguyên y thoả mãn.

Vậy có tất cả 32 giá trị nguyên y thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.