Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) có \({\rm{AB}} = 6\;{\rm{cm}}\), \({\rm{AC}} = 8\;{\rm{cm}}\).

Câu hỏi số 668739:

Vận dụng

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) có \({\rm{AB}} = 6\;{\rm{cm}}\), \({\rm{AC}} = 8\;{\rm{cm}}\). Tia phân giác của \(\angle {\rm{ABC}}\) cắt \({\rm{AC}}\) tại \({\rm{D}}\).

a) Tính độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của \(\angle {\rm{ACB}}\) cắt \({\rm{BD}}\) ở I. Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\). Chứng minh \(\angle {\rm{BIM}} = {90^\circ }\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668739

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về tính chất của đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

Áp dụng định lí Pythagore và định lí Pythagore đảo.

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore vào\(\Delta ABC\)vuông tại \(A\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10(\;{\rm{cm}})\)

Vì BD là tia phân giác của \(\angle {\rm{ABC}}\) trong \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\) (tính chất)

\( \Rightarrow \dfrac{{DA}}{3} = \dfrac{{DC}}{5} = \dfrac{{DA + DC}}{{3 + 5}} = \dfrac{{AC}}{8} = 1\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow DA = 3\;{\rm{cm}},DC = 5\;{\rm{cm}}\)

b) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có:

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{cm}})\)

Vì CI là đường phân giác của \(\angle {\rm{ACB}}\) trong \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\),

\( \Rightarrow \dfrac{{ID}}{1} = \dfrac{{IB}}{2} = \dfrac{{ID + IB}}{{1 + 3}} = \dfrac{{BD}}{3} = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow ID = \sqrt 5 \;{\rm{cm}},IB = 2\sqrt 5 \;{\rm{cm}}\)

Chứng minh \(\Delta IDC = \Delta IMC(c - g - c)\) nên \(IM = ID = \sqrt 5 \;{\rm{cm}}\)

Vì \(I{M^2} + I{B^2} = 25 = M{B^2}\) nên \(\Delta IMB\)vuông tại I (định lí Pythagore đảo).

Do đó, \(\angle BIM = {90^\circ }\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link