Giải phương trình \(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x +

Câu hỏi số 669065:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x + 506}}\).

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(a,b\) không âm ta (\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \))

Để ta chứng minh \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

Ta chứng minh \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).

Thật vây, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(a,b\) không âm ta được:

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} = 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(a = b\)

Vì \(3{x^2} \ge 0\)với mọi \(x\) và \({x^2} - 12x + 2024 = {\left( {x - 6} \right)^2} + 1988 > 0\) với mọi \(x\) nên ta có:

\(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} \ge \dfrac{4}{{3{x^2} + {x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{4}{{4{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x + 506}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(3{x^2} = {x^2} - 12x + 2024\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 2024 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 1012 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - 1.\left( { - 1012} \right) = 1021 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = - 3 + \sqrt {1021} \)và \({x_2} = - 3 - \sqrt {1021} \)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: \(S = \left\{ { - 3 + \sqrt {1021} ; - 3 - \sqrt {1021} } \right\}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:669065

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.