Giải phương trình \(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x +

Câu hỏi số 669065:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x + 506}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669065

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(a,b\) không âm ta (\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \))

Để ta chứng minh \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

Ta chứng minh \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).

Thật vây, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(a,b\) không âm ta được:

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 2\sqrt {ab} .2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}} = 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(a = b\)

Vì \(3{x^2} \ge 0\)với mọi \(x\) và \({x^2} - 12x + 2024 = {\left( {x - 6} \right)^2} + 1988 > 0\) với mọi \(x\) nên ta có:

\(\dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2} - 12x + 2024}} \ge \dfrac{4}{{3{x^2} + {x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{4}{{4{x^2} - 12x + 2024}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 3x + 506}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(3{x^2} = {x^2} - 12x + 2024\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 2024 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 1012 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - 1.\left( { - 1012} \right) = 1021 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm là: \({x_1} = - 3 + \sqrt {1021} \)và \({x_2} = - 3 - \sqrt {1021} \)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: \(S = \left\{ { - 3 + \sqrt {1021} ; - 3 - \sqrt {1021} } \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link