Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với \(\left( {ABCD}

Câu hỏi số 669110:

Vận dụng

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với \(\left( {ABCD} \right),AB = BC = a,AD = 2a,SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Bán kính mặt cầu đi qua các điểm \(S,D,C,E\) bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt {93} }}{6}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(a\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669110

Giải chi tiết

\(\left( {ABCD} \right),AB = BC = a,AD = 2a,SA = a\sqrt 2 \)

Do E là trung điểm của AD nên \(\Delta CED\) vuông cân tại E

\( \Rightarrow \) tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CED\) là trung điểm M của CD

\( \Rightarrow ME = MC = MD = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{CE\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có ABCE là hình vuông nên \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a\)

\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a\)

\(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 \) và \(CD = a\sqrt 2 \)

Nên \(\Delta SCD\) vuông tại C. Gọi N là trung điểm SD

Từ N dựng đường vuông góc với mặt phẳng (SCD), từ M dựng đường vuông góc với (ECD). Hai đường vuông góc này cắt nhau tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DEC

Ta có \(IN \bot \left( {SCD} \right),IM \bot \left( {ECD} \right) \Rightarrow \angle \left( {IM,IN} \right) = \angle \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)\)

\(\angle \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {AC,SC} \right) = \angle ACS = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle MIN = {45^0}\)

Mà \(IM \bot MN\left( {IN \bot \left( {SCD} \right)} \right) \Rightarrow \Delta IMN\) vuông cân tại N

\( \Rightarrow IN = MN = \dfrac{1}{2}SC = a\)

Gọi bán kính hình chóp SECD là R

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{N^2} = I{D^2} - N{D^2} = {R^2} - {\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}a} \right)^2} = {R^2} - \dfrac{3}{2}{a^2}\\ \Rightarrow {R^2} - \dfrac{3}{2}{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{5}{2}{a^2} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}a\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.