Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( {0;2023} \right)\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất

Câu hỏi số 669114:

Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( {0;2023} \right)\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất mười số nguyên \(b \in \left( { - 3;10} \right)\) thỏa mãn \({2^b}{3^a} + 6560 \le {3^{2{a^2} + b}}\) ?

A. 2020 .

B. 2019 .

C. 2021 .

D. 2018 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669114

Phương pháp giải

Đưa về hàm số \(f(b) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^b}{3^a} + 6560{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^b} - {3^{2{a^2}}}\) và xét \(f(b) \le 0,b \in ( - 3;10)\)

Giải chi tiết

Ta có: \({2^b}{3^a} + 6560 \le {3^{2{a^2} + b}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^b}{3^a} + 6560{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^b} - {3^{2{a^2}}} \le 0\).

Đặt \(f(b) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^b}{3^a} + 6560{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^b} - {3^{2{a^2}}}\), bất phương trình trên có dạng \(f(b) \le 0,b \in ( - 3;10)\).

Ta có \({f^\prime }(b) = \ln \left( {\dfrac{2}{3}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^b}{3^a} + 6560{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^b}\ln \left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\forall b \in ( - 3;10)\).

Do đó \(f(b)\) nghịch biến trên \(( - 3;10)\).

Khi đó \(f( - 3) > f( - 2) > f( - 1) > f(0) > f(1) > \ldots > f(9)\).

Để tìm được ít nhất 10 giá trị \(b\) nguyên thuộc \(( - 3;10)\) thỏa mãn \(f(b) \le 0\) thì \(f(0) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {3^a} + 6560 \le {3^{2{a^2}}}\). Có \(a\) nguyên, \(a \in (0;2022)\) nên \(a \ge 1\)

Suy ra 6563 \( \le {3^a} + 6560 \le {3^{2{a^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge \sqrt {\dfrac{1}{2}{{\log }_3}6563} > 2}\\{a \le - \sqrt {\dfrac{1}{2}{{\log }_3}6563} < - 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a \in \{ 3;4;5; \ldots ;2022\} \) nên có 2020 số nguyên \(a\) thỏa yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.