Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\). Mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V\). Tính \(V\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Tính tỉ số thể tích.
Thể tích khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\) là \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{{(2a)}^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Gọi \(P = EN \cap CD\) và \(Q = EM \cap AD\).
Suy ra \(P,Q\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta BCE\) và \(\Delta ABE\).
Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(BCD\), suy ra \({S_{\Delta CDE}} = {S_{\Delta BNE}} = S\).
Ta có \({S_{\Delta PDE}} = \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\Delta CDE}} = \dfrac{S}{3}\).
Gọi \(h\) là chiều cao của tứ diện \(ABCD\), suy ra
\(d\left[ {M,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{h}{2};d\left[ {Q,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{h}{3}\).
Khi đó \({V_{M.BNE}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta BNE}} \cdot d\left[ {M,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{{S.h}}{6};{V_{Q.PDE}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta PDE}} \cdot d\left[ {Q,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{{S.h}}{{27}}\).
Suy ra \({V_{PQD.NMB}} = {V_{M.BNE}} - {V_{Q.PDE}} = \dfrac{{S.h}}{6} - \dfrac{{S \cdot h}}{{27}} = \dfrac{{7S \cdot h}}{{54}} = \dfrac{7}{{18}} \cdot \dfrac{{S \cdot h}}{3} = \dfrac{7}{{18}} \cdot {V_{ABCD}}\).
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(A\) là \(V = {V_{ABCD}} - {V_{PQD.NMB}} = \dfrac{{11}}{{18}} \cdot \dfrac{{{{(2a)}^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
