Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các

Câu hỏi số 669379:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\). Mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V\). Tính \(V\).

A. \(V = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\).

B. \(V = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\).

C. \(V = \dfrac{{13\sqrt 2 {a^3}}}{{216}}\).

D. \(V = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{18}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669379

Phương pháp giải

Tính tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Thể tích khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\) là \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{{(2a)}^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Gọi \(P = EN \cap CD\) và \(Q = EM \cap AD\).

Suy ra \(P,Q\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta BCE\) và \(\Delta ABE\).

Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(BCD\), suy ra \({S_{\Delta CDE}} = {S_{\Delta BNE}} = S\).

Ta có \({S_{\Delta PDE}} = \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\Delta CDE}} = \dfrac{S}{3}\).

Gọi \(h\) là chiều cao của tứ diện \(ABCD\), suy ra

\(d\left[ {M,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{h}{2};d\left[ {Q,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{h}{3}\).

Khi đó \({V_{M.BNE}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta BNE}} \cdot d\left[ {M,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{{S.h}}{6};{V_{Q.PDE}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta PDE}} \cdot d\left[ {Q,\left( {BCD} \right)} \right] = \dfrac{{S.h}}{{27}}\).

Suy ra \({V_{PQD.NMB}} = {V_{M.BNE}} - {V_{Q.PDE}} = \dfrac{{S.h}}{6} - \dfrac{{S \cdot h}}{{27}} = \dfrac{{7S \cdot h}}{{54}} = \dfrac{7}{{18}} \cdot \dfrac{{S \cdot h}}{3} = \dfrac{7}{{18}} \cdot {V_{ABCD}}\).

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(A\) là \(V = {V_{ABCD}} - {V_{PQD.NMB}} = \dfrac{{11}}{{18}} \cdot \dfrac{{{{(2a)}^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{11\sqrt 2 {a^3}}}{{27}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.