Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn: \(9{x^3} + \left( {2 - y\sqrt {3xy - 8} } \right)x + 2\sqrt {3xy - 8} =

Câu hỏi số 669378:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,y\) thỏa mãn: \(9{x^3} + \left( {2 - y\sqrt {3xy - 8} } \right)x + 2\sqrt {3xy - 8} = 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + 9xy + \left( {9{x^2} + 5} \right)\left( {x + y - 3} \right)\) có dạng \(\dfrac{{a\sqrt 6 + b}}{9}\). Tính \(T = a + b\).

A. 961.

B. 1033.

C. 356.

D. 1030.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669378

Phương pháp giải

Phương pháp hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có \(9{x^3} + \left( {2 - y\sqrt {3xy - 8} } \right)x + 2\sqrt {3xy - 8} = 0\)

\( \Leftrightarrow 27{x^3} + 6x = \left( {3xy - 8} \right)\sqrt {3xy - 8} + 2\sqrt {3xy - 8} \).

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^3} + 2t\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2 > 0\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số liên tục và đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó ta có \(3x = \sqrt {3xy - 8} \Rightarrow x \ge 0\) và \(9{x^2} = 3xy - 8\).

Với \(x = 0\) thì \(0 = - 8\left( l \right)\).

với \(x > 0\) thì \(P = {x^3} + {y^3} + 9xy + \left( {9{x^2} + 5} \right)\left( {x + y - 3} \right)\)

\( = {x^3} + {y^3} + 9xy + \left( {3xy - 3} \right)\left( {x + y - 3} \right)\)
\( = {x^3} + {y^3} + 9xy + 3xy\left( {x + y} \right) - 9xy - 3\left( {x + y} \right) + 9\)

\( = {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} - 3\left( {x + y} \right) + 9\)

\( = {(x + y)^3} - 3\left( {x + y} \right) + 9\)

Mà \(x + y = x + \dfrac{{9{x^2} + 8}}{{3x}} = 4x + \dfrac{8}{{3x}} \ge 2\sqrt {4x \cdot \dfrac{8}{{3x}}} = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}\). Đặt \(t = x + y\) thì \(t \ge \dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}\).

Xét \(f\left( t \right) = {t^3} - 3t + 9\) với \(t \ge \dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}\). Khi đó \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3 > 0\) với \(\forall t \ge \dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}\).

Do đó \(f\left( t \right) \ge f\left( {\dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}} \right) = \dfrac{{952\sqrt 6 + 81}}{9}\), suy ra \(a = 952,b = 81 \Rightarrow T = 1033\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.