Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\) cạnh \(AB = 3a,BC = 4a\). Hình chiếu

Câu hỏi số 671018:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\) cạnh \(AB = 3a,BC = 4a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(ID\). Biết rằng \(SB\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({45^ \circ }\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{25\pi }}{2}{a^2}\).

B. \(\dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}\).

C. \(\dfrac{{125\pi }}{2}{a^2}\).

D. \(4\pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671018

Phương pháp giải

Xác định chiều cao SE của hình chóp.

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), vẽ \(IT\) song song với \(SE\) và cắt \(EF\) tại \(T\).

Chứng minh T là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp từ đó tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(ID,F\) là trung điểm của \(SB\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), vẽ \(IT\) song song với \(SE\) và cắt \(EF\) tại \(T\).

Ta có \(SE \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(\widehat {SBE} = \left[ {SB;\left( {ABCD} \right)} \right] = {45^ \circ }\).

Suy ra \(\Delta SBE\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(EF\) là trung trực của \(SB\).

Suy ra \(TS = TB\).

Ta có \(IT\parallel SE\), suy ra \(IT \bot \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(IT\) là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\).

Suy ra \(TA = TB = TC = TD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(T\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\), suy ra \(IB = ID = \dfrac{5}{2}a\).

Do \(E\) là trung điểm của \(ID\) nên \(IE = \dfrac{1}{2}ID = \dfrac{5}{4}a\).

\(\Delta BEF\) vuông tại \(F\) có \(\widehat {EBF} = {45^ \circ }\) nên \(\Delta BEF\) vuông cân tại \(F\).

\(\Delta EIT\) vuông tại \(I\) có \(\widehat {IET} = {45^ \circ }\) nên \(\Delta EIT\) vuông cân tại \(I\).

Suy ra \(IT = IE = \dfrac{5}{4}a\).

Do \(\Delta BIT\) vuông tại \(I\) nên \(TB = \sqrt {I{B^2} + I{T^2}} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}a\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S \cdot ABCD\) là \(S = 4\pi T{B^2} = \dfrac{{125\pi }}{4}{a^2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.