Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} + 9x} \right)\left(

Câu hỏi số 671023:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} + 9x} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right)\) có tối đa 5 điểm cực trị ?

A. 2 .

B. 5.

C. 4 .

D. 7 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671023

Phương pháp giải

Hàm số này \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn tức để hàm số \(g\left( x \right)\) có tối đa 5 cực trị thì hàm \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3x + 2m - {m^2}} \right)\) có tối đa 2 điểm cực trị dương.

Giải chi tiết

Do \(g\left( { - x} \right) = f\left( {\left| { - {x^3} - 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m - {m^2}} \right) = g\left( x \right)\) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số \(g\left( x \right)\) có tối đa 5 cực trị thì hàm \(h\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3x + 2m - {m^2}} \right)\) có tối đa 2 điểm cực trị dương.

Tức phương trình \(h'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 3} \right)f'\left( {{x^3} + 3x + 2m - {m^2}} \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3x + 2m - {m^2} = 0}\\{{x^3} + 3x + 2m - {m^2} = - 9}\\{{x^3} + 3x + 2m - {m^2} = - 3}\\{{x^3} + 3x + 2m - {m^2} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3x = {m^2} - 2m = {y_3}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} - 2m - 9 = - {y_1}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} - 2m - 3 = {y_2}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} - 2m + 3 = {y_4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Như vậy để thỏa mãn đề bài thì bốn đường thẳng lần lượt là \({y_1},{y_2},{y_3},{y_4}\) phải cắt đồ thị \(y = {x^3} + 3x\) tại tối đa hai nghiệm dương.

Xét hàm số \(y = {x^3} + 3x\) có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(y\left( 0 \right) = 0\).

Nhận thấy \({m^2} - 2m + 3 = {(m - 1)^2} + 2 > 0\) luôn đúng nên hệ \(\left( {\rm{*}} \right)\) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:

Trường hợp \(1:{m^2} - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ {0;2} \right]\) thì hệ \(\left( {\rm{*}} \right)\) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị

Trường hợp 2: \({m^2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\) thì hệ \(\left( {\rm{*}} \right)\) đang có 2 nghiệm dương.

Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ có tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 2m - 9 \le 0}\\{{m^2} - 2m - 3 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left[ { - 1;3} \right]} \right.\)

So với điều kiện ta suy ra \(m \in \left\{ { - 1;3} \right\}\).

Từ hai trường hợp ta suy ra \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\) tức có 5 giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.