Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba

Câu hỏi số 671022:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt thì phương trình \(2f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671022

Phương pháp giải

\(h\left( x \right) = 2f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}\). Tính h’(x) và lập BBT

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2{\rm{a}}x + b\)

\(f''\left( x \right) = 6x + 2a\)

\(f'''\left( x \right) = 6\)

Gọi ba nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) lần lượt là \(a;b;c\)

Đặt \(h\left( x \right) = 2f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}\)

\(h'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + 2f\left( x \right) \cdot f'''\left( x \right) - 2f'\left( x \right) \cdot f''\left( x \right)\)

\( = 2f\left( x \right) \cdot f'''\left( x \right) = 12 \cdot f\left( x \right)\)

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a}\\{x = b}\\{x = c}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right)\) :

Lại có phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt a, b,c

\( \Rightarrow f\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( b \right) \ne 0 \Rightarrow - {\left( {f'\left( b \right)} \right)^{\dot 2}} < 0\)

Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right)\) :

Từ bảng biến thiên phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt hay \(2f\left( x \right).f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.