Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và diện tích tam

Câu hỏi số 671129:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và diện tích tam giác ABC bằng \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\). Biết khoảng cách giữa đường thẳng BC và mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671129

Phương pháp giải

Chứng minh \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\).

Dựng khoảng cách từ A’ đến (AB’C’).

Đặt AA’ = x, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tìm x theo a.

Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Vì BC // B’C’ nên \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {A'B'C'} \right)\) kẻ \(A'H \bot B'C'\), trong \(\left( {AA'H} \right)\) kẻ \(A'K \bot AH\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot AA'\\B'C' \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'K\\\left\{ \begin{array}{l}A'K \bot B'C'\\A'K \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow A'K \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow d\left( {A';\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'K = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\end{array}\)

Đặt \(AA' = x\,\,\left( {x > 0} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AA’H ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A'{K^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A'{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{25}}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{A'{H^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{A'{H^2}}} = \dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}\end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}A'H.B'C' = {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow a\sqrt 3 .\sqrt {\dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} = 4\\ \Leftrightarrow 3{a^2}\left( {\dfrac{{25}}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) = 16\\ \Leftrightarrow 25 - \dfrac{{3{a^2}}}{{{x^2}}} = 16\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2}}} = 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.