Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC, các đường cao BE, CF của tam giác ABC

Câu hỏi số 671209:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC, các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H, đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh hai tam giác KBF và KEC đồng dạng, từ đó suy ra KB.KC = KF.KE.

3) Đường thẳng AK cắt lại đường tròn (O) tại G khác A, chứng minh các điểm A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn.

4) Gọi I là trung điểm cạnh BC, chứng minh HI vuông góc với AK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671209

Phương pháp giải

1) Chứng minh BCEF có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

2) Hai tam giác KBF và KEC đồng dạng (g-g), suy ra cặp cạnh tỉ lệ.

3) Chứng minh AEHF có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh AGFE có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp.

4) Gọi AD là đường kính của (O).

Chứng minh G, H, D và H, I, D thẳng hàng.

Mà \(DG \bot AG\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow DG \bot AK \Rightarrow HI \bot AK\)

Giải chi tiết

1) Do BE, CF là đường cao của tam giác ABC nên \(BE \bot AC,CF \bot AB \Rightarrow \angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)

Xét tứ giác BFEC có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)

Mà E, F là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau nên suy ra BFEC nội tiếp (dhnb) (đpcm)

2) Do BFEC nội tiếp (cmt) nên \(\angle ACB = \angle AFE\) (cùng bù với \(\angle BFE\))

Mà \(\angle KFB = \angle AFE\) (đối đỉnh) nên \(\angle KFB = \angle ABC = \angle KCE\,\,\left( { = \angle AFE} \right)\)

Xét tam giác KBF và tam giác KEC có

\(\angle KFB = \angle KCE\) (chứng minh trên)

\(\angle EKC\) chung

\( \Rightarrow \Delta KFB \sim \Delta KCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{KC}} = \dfrac{{KB}}{{KE}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow KB.KC = KF.KE\) (đpcm)

3) Xét tứ giác AFHE có \(\angle AFH = \angle AEH = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle AFF + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứu giác AFHE nội tiếp (1)

Xét tam giác KAB và tam giác KCG có

\(\angle AKC\) chung

\(\angle KAB = \angle KCG\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BG)

\( \Rightarrow \Delta KAB \sim \Delta KCG\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KC}} = \dfrac{{KB}}{{KG}} \Rightarrow KG.KA = KB.KC\).

Mà \(KB.KC = KF.KE\left( {cmt} \right) \Rightarrow KG.KA = KE.KF \Leftrightarrow \dfrac{{KG}}{{KE}} = \dfrac{{KF}}{{KA}}\)

Xét tam giác KGF và tam giác KEA có \(\angle AKE\) chung và \(\dfrac{{KG}}{{KE}} = \dfrac{{KF}}{{KA}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta KGF \sim \Delta KEA\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle KGF = \angle KEA\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle KGF + \angle FGA = {180^0}\) (2 góc kề bù) \( \Rightarrow \angle FGA + \angle KEA = {180^0}\).

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AGFE nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

4) Do A, G, F, E, H cùng thuộc một đường tròn (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\angle AGH = \angle AFH = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH).

\( \Rightarrow HG \bot AG\)

Kẻ đường kính AD của (O) khi đó \(\angle AGD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow DG \bot AG\)

\( \Rightarrow G,H,D\) thẳng hàng. (3)

Ta có \(\angle ABD = {90^0}\) và \(\angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow DC \bot AC,DB \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DB \bot AB\\CH \bot AB\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CH\parallel BD\) (từ vuông góc đến song song).

Tương tự BH, CD cùng vuông góc với AC nên \(BH\parallel CD\) (từ vuông góc đến song song).

\( \Rightarrow CHBD\) là hình bình hành (dhnb).

Mà I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của HD (tính chất hình bình hành)

Suy ra H, I, D thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) suy ra G, H, I, D thẳng hàng

Mà \(DG \bot AG\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow DG \bot AK \Rightarrow HI \bot AK\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.