Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn \(a + b + c = 2024\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi số 671210:

Vận dụng cao

\(P = \dfrac{a}{{a + \sqrt {2024a + bc} }} + \dfrac{b}{{b + \sqrt {2024b + ca} }} + \dfrac{c}{{c + \sqrt {2024c + ab} }}\)

Phương pháp giải

Trục căn thức ở mẫu dạng \(\dfrac{A}{{A + \sqrt B }} = \dfrac{{A\left( {A - \sqrt B } \right)}}{{\left( {A + \sqrt B } \right)\left( {A - \sqrt B } \right)}}\)

Áp dụng BĐT cosi cho hai số dương.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + \sqrt {2024a + bc} }} = \dfrac{{a\left( {a - \sqrt {2024a + bc} } \right)}}{{{a^2} - 2024a - bc}}\\ = \dfrac{{a\left( {a - \sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} } \right)}}{{{a^2} - a\left( {a + b + c} \right) - bc}} = \dfrac{{a\left( {a - \sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} } \right)}}{{{a^2} - {a^2} - ab - ac - bc}}\\ = \dfrac{{a\left( {a - \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} } \right)}}{{ - ab - ac - bc}} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + ac + bc}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) \le {\left( {\dfrac{{a + b + a + c}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{4}\) \( \Rightarrow \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \dfrac{{2a + b + c}}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{{a + \sqrt {2024a + bc} }} \le \dfrac{{a\left( {\dfrac{{2a + b + c}}{2} - a} \right)}}{{ab + ac + bc}} = \dfrac{{a\left( {b + c} \right)}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} = \dfrac{{ab + ac}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{b}{{b + \sqrt {2024b + ca} }} \le \dfrac{{bc + ab}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}}\); \(\dfrac{c}{{c + \sqrt {2024c + ab} }} \le \dfrac{{ac + bc}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}}\)

Suy ra:

\(P \le \dfrac{{ab + ac}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} + \dfrac{{bc + ab}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} + \dfrac{{ac + bc}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} = \dfrac{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}}{{2\left( {ab + ac + bc} \right)}} = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{{2024}}{3}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = 1\) khi \(a = b = c = \dfrac{{2024}}{3}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671210

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.