a) Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\). Tìm giá trị của \(a\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm

Câu hỏi số 671636:

Vận dụng

a) Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\). Tìm giá trị của \(a\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\). Với \(a\) tìm được, tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x - 1\).

b) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 5m + 15}\\{x + y = 3m + 9}\end{array}} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để biểu thức \(Q = xy - 2x - 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

a) Thay \(M\left( {1;2} \right)\) vào hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2}\) tìm a.

Với a tìm được, xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số tìm (x; y).

Thay vào biểu thức tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

a) Vì (P) đi qua điểm M(1;2) nên thay x = 1, y = 2 ta có: \(2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 2.\)

Vậy để (P) đi qua M(1;2) thì a = 2.

Với a = 2 \( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\).

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: \(2{x^2} = 3x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {2.1^2} = 2 \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\)

Với \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

Vậy với a = 2 thì toạ độ giao điểm của (P) và (d) là A(1;2) và \(B\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5m + 15\\x + y = 3m + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2m + 6\\y = 3m + 9 - x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 3m + 9 - m - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 2m + 6\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}Q = xy - 2x - 1 = \left( {m + 3} \right)\left( {2m + 6} \right) - 2\left( {m + 3} \right) - 1\\ \Rightarrow Q = 2{\left( {m + 3} \right)^2} - 2\left( {m + 3} \right) - 1\\ \Rightarrow Q = 2\left[ {{{\left( {m + 3} \right)}^2} - 2\left( {m + 3} \right).\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right] - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow Q = 2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} - \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Do \(2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow 2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} - \dfrac{3}{2} \ge - \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow Q \ge - \dfrac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \( - \dfrac{3}{2}\), đạt được khi \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3.\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671636

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.