a) Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\). Tìm giá trị của \(a\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm

Câu hỏi số 671636:

Vận dụng

a) Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\). Tìm giá trị của \(a\) để \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\). Với \(a\) tìm được, tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x - 1\).

b) Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 5m + 15}\\{x + y = 3m + 9}\end{array}} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để biểu thức \(Q = xy - 2x - 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671636

Phương pháp giải

a) Thay \(M\left( {1;2} \right)\) vào hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2}\) tìm a.

Với a tìm được, xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số tìm (x; y).

Thay vào biểu thức tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

a) Vì (P) đi qua điểm M(1;2) nên thay x = 1, y = 2 ta có: \(2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 2.\)

Vậy để (P) đi qua M(1;2) thì a = 2.

Với a = 2 \( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\).

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: \(2{x^2} = 3x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {2.1^2} = 2 \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\)

Với \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

Vậy với a = 2 thì toạ độ giao điểm của (P) và (d) là A(1;2) và \(B\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5m + 15\\x + y = 3m + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2m + 6\\y = 3m + 9 - x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 3m + 9 - m - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = 2m + 6\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}Q = xy - 2x - 1 = \left( {m + 3} \right)\left( {2m + 6} \right) - 2\left( {m + 3} \right) - 1\\ \Rightarrow Q = 2{\left( {m + 3} \right)^2} - 2\left( {m + 3} \right) - 1\\ \Rightarrow Q = 2\left[ {{{\left( {m + 3} \right)}^2} - 2\left( {m + 3} \right).\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right] - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow Q = 2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} - \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Do \(2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow 2{\left[ {\left( {m + 3} \right) - \dfrac{1}{2}} \right]^2} - \dfrac{3}{2} \ge - \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow Q \ge - \dfrac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng \( - \dfrac{3}{2}\), đạt được khi \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link