Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }}

Câu hỏi số 671635:

Thông hiểu

Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right) \cdot \dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\), với \(a > 0,a \ne 1,a \ne 4\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(a = 16\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\).

c) Tìm các giá trị nguyên của \(a\) để \(A.B < 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671635

Phương pháp giải

a) Thay giá trị a (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

c) Giải bất phương trình.

Giải chi tiết

a) Với a = 16 (thoả mãn ĐKXĐ), thay vào biểu thức A ta được:

\(A = \dfrac{{5\sqrt {16} + 4}}{{\sqrt {16} - 1}} = \dfrac{{5.4 + 4}}{{4 - 1}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\).

Vậy khi a = 16 thì \(A = 8\).

b) Với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right).\dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{{1 - \sqrt a + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\end{array}\)

Vậy với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) thì \(B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\).

c) Ta có \(A.B = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}.\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

Vì \(5\sqrt a + 4 > 0\,\,\forall a\) nên \(A.B < 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 < 0\\\sqrt a - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a < 1\\\sqrt a > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a > 4\end{array} \right.\) (Vô lí).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 > 0\\\sqrt a - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > 1\\\sqrt a < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a < 4\end{array} \right. \Rightarrow 1 < a < 4\).

Kết hợp điều kiện \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có \(1 < a < 4\).

Mà a là số nguyên nên \(a \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của a để A.B < 0 là a = 2 hoặc a = 3.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link