Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }}

Câu hỏi số 671635:

Thông hiểu

Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right) \cdot \dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\), với \(a > 0,a \ne 1,a \ne 4\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(a = 16\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\).

c) Tìm các giá trị nguyên của \(a\) để \(A.B < 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671635

Phương pháp giải

a) Thay giá trị a (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

c) Giải bất phương trình.

Giải chi tiết

a) Với a = 16 (thoả mãn ĐKXĐ), thay vào biểu thức A ta được:

\(A = \dfrac{{5\sqrt {16} + 4}}{{\sqrt {16} - 1}} = \dfrac{{5.4 + 4}}{{4 - 1}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\).

Vậy khi a = 16 thì \(A = 8\).

b) Với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right).\dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{{1 - \sqrt a + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\end{array}\)

Vậy với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) thì \(B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\).

c) Ta có \(A.B = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}.\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

Vì \(5\sqrt a + 4 > 0\,\,\forall a\) nên \(A.B < 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 < 0\\\sqrt a - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a < 1\\\sqrt a > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a > 4\end{array} \right.\) (Vô lí).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 > 0\\\sqrt a - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > 1\\\sqrt a < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a < 4\end{array} \right. \Rightarrow 1 < a < 4\).

Kết hợp điều kiện \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có \(1 < a < 4\).

Mà a là số nguyên nên \(a \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của a để A.B < 0 là a = 2 hoặc a = 3.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link