Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }}

Câu hỏi số 671635:

Thông hiểu

Cho hai biều thức \(A = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}\) và \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right) \cdot \dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\), với \(a > 0,a \ne 1,a \ne 4\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(a = 16\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\).

c) Tìm các giá trị nguyên của \(a\) để \(A.B < 0\).

Phương pháp giải

a) Thay giá trị a (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

c) Giải bất phương trình.

Giải chi tiết

a) Với a = 16 (thoả mãn ĐKXĐ), thay vào biểu thức A ta được:

\(A = \dfrac{{5\sqrt {16} + 4}}{{\sqrt {16} - 1}} = \dfrac{{5.4 + 4}}{{4 - 1}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\).

Vậy khi a = 16 thì \(A = 8\).

b) Với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right).\dfrac{{\sqrt a - a}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{{1 - \sqrt a + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\dfrac{{\sqrt a \left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\end{array}\)

Vậy với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) thì \(B = \dfrac{1}{{\sqrt a - 2}}\).

c) Ta có \(A.B = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\sqrt a - 1}}.\dfrac{1}{{\sqrt a - 2}} = \dfrac{{5\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

Vì \(5\sqrt a + 4 > 0\,\,\forall a\) nên \(A.B < 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 < 0\\\sqrt a - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a < 1\\\sqrt a > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a > 4\end{array} \right.\) (Vô lí).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a - 1 > 0\\\sqrt a - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > 1\\\sqrt a < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a < 4\end{array} \right. \Rightarrow 1 < a < 4\).

Kết hợp điều kiện \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 4\) ta có \(1 < a < 4\).

Mà a là số nguyên nên \(a \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của a để A.B < 0 là a = 2 hoặc a = 3.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671635

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.