: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\) có

Câu hỏi số 671745:

Thông hiểu

: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa: \(\dfrac{1}{{{x_1} - 2023}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\).

Phương pháp giải

Công thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Điều kiện \(\Delta > 0\) để PT có hai nghiệm phân biệt

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - (m + 1)x - 2023 = 0\) có

\(\Delta = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 2023} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8092 > 0\) với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi m

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = - 2023\end{array} \right.\) (1)

Ta có \(\dfrac{1}{{{x_1} - 2023}} + \dfrac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_2} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} + \dfrac{{{x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_2} - 2023 + {x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 4046 = \,\,{x_1}{x_2} - 2023\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2}\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \,{x_1}{x_2} - 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2} + 4046 = 0 & & \left( 2 \right)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l} - 2023 - 2024.\left( {m + 1} \right) + {2023^2} + 4026 = 0\\ \Leftrightarrow - 2024\left( {m + 1} \right) = - 4094552\\ \Leftrightarrow m + 1 = 2023\\ \Leftrightarrow m = 2022\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy m = 2022

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671745

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.