Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 3m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)

Câu hỏi số 675483:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3} - 3m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)?

A. 2.

B. 5.

C. 1.

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675483

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m \Rightarrow f\left( x \right) = {t^3} - m\)

Chứng minh \(t = x\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Rightarrow {t^3} = f\left( x \right) + m \Rightarrow f\left( x \right) = {t^3} - m\)

Mà \(f\left( t \right) = {x^3} - m\) nên \(f\left( x \right) + {x^3} = f\left( t \right) + {t^3}\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(g\left( u \right) = f\left( u \right) + {u^3}\)

\( \Rightarrow g'\left( u \right) = f'\left( u \right) + 3{u^2} \ge 0,\,\,\forall u \in \mathbb{R}\)

Do đó \(g\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Từ (1) suy ra \(x = t \Rightarrow \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = x \Rightarrow f\left( x \right) + m = {x^3} \Rightarrow {x^5} + 2{x^3} - 3m = {x^3} \Rightarrow {x^5} + {x^3} = 3m\)

Xét \(h\left( x \right) = {x^5} + {x^3},\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow h'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} \ge 0\\ \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ {h\left( { - 1} \right);h\left( 1 \right)} \right]\\ \Rightarrow h\left( x \right) \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}\)

Để phương trình có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) thì \(3m \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right]\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.