Cho hình nón đỉnh \(S\), góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \), bán kính đáy bằng \(R = 3a\sqrt 3 \). Mặt

Câu hỏi số 676675:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\), góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \), bán kính đáy bằng \(R = 3a\sqrt 3 \). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\) cắt nón theo thiết diện là 1 tam giác. Khi diện tích thiết diện lớn nhất, góc giữa thiết diện và mặt đáy của hình nón bằng

A. \({30^o}\).

B. \({90^0}\).

C. \({60^o}\).

D. \({45^o}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676675

Phương pháp giải

Gọi góc giữa thiết diện và mặt đáy của hình nón bằng \(\alpha \)

Tính diện tích tam giác thiết diện theo \(\alpha \) từ đó tìm GTLN

Giải chi tiết

\(R = 3a\sqrt 3 \Rightarrow 2R = 6a\sqrt 3 \)

Ta có \(A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos ASB\)

\( \Rightarrow 2S{A^2} - 2S{A^2}.\cos 120 = {\left( {6a\sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow SA = SB = SC = 6a\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - {R^2}} = 3a\)

Đặt \(\alpha = \angle SMO \Rightarrow OM = SO.\cot \alpha = 3a\cot \alpha \)

\(SM = \dfrac{{SO}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{3a}}{{\sin \alpha }}\)

\(MC = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \sqrt {27{a^2} - 9{a^2}{{\cot }^2}\alpha } \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SM.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{{\sin \alpha }}.2\sqrt {27{a^2} - 9{a^2}{{\cot }^2}\alpha } \\ = \dfrac{{9{a^2}}}{{\sin \alpha }}\sqrt {3 - {{\cot }^2}\alpha } = 9{a^2}\sqrt {\dfrac{3}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^4}\alpha }}} = 9{a^2}\sqrt {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \\ \Rightarrow {S_{\Delta SAC}}\max \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)_{\max }}\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 4 - {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 2} \right)^2} \le 4\)

Dấu “=” có khi \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 2 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \alpha = {45^0}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.