Cho hình nón đỉnh \(S\), góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \), bán kính đáy bằng \(R = 3a\sqrt 3 \). Mặt

Câu hỏi số 676675:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\), góc ở đỉnh bằng \(120^\circ \), bán kính đáy bằng \(R = 3a\sqrt 3 \). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\) cắt nón theo thiết diện là 1 tam giác. Khi diện tích thiết diện lớn nhất, góc giữa thiết diện và mặt đáy của hình nón bằng

A. \({30^o}\).

B. \({90^0}\).

C. \({60^o}\).

D. \({45^o}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676675

Phương pháp giải

Gọi góc giữa thiết diện và mặt đáy của hình nón bằng \(\alpha \)

Tính diện tích tam giác thiết diện theo \(\alpha \) từ đó tìm GTLN

Giải chi tiết

\(R = 3a\sqrt 3 \Rightarrow 2R = 6a\sqrt 3 \)

Ta có \(A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos ASB\)

\( \Rightarrow 2S{A^2} - 2S{A^2}.\cos 120 = {\left( {6a\sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow SA = SB = SC = 6a\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - {R^2}} = 3a\)

Đặt \(\alpha = \angle SMO \Rightarrow OM = SO.\cot \alpha = 3a\cot \alpha \)

\(SM = \dfrac{{SO}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{3a}}{{\sin \alpha }}\)

\(MC = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}} = \sqrt {27{a^2} - 9{a^2}{{\cot }^2}\alpha } \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SM.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{{\sin \alpha }}.2\sqrt {27{a^2} - 9{a^2}{{\cot }^2}\alpha } \\ = \dfrac{{9{a^2}}}{{\sin \alpha }}\sqrt {3 - {{\cot }^2}\alpha } = 9{a^2}\sqrt {\dfrac{3}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^4}\alpha }}} = 9{a^2}\sqrt {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \\ \Rightarrow {S_{\Delta SAC}}\max \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right)_{\max }}\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^4}\alpha }} + \dfrac{4}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 4 - {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 2} \right)^2} \le 4\)

Dấu “=” có khi \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 2 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \alpha = {45^0}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.