Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\), các đường cao
Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\), các đường cao \({\rm{AD}},{\rm{BE}},{\rm{CF}}({\rm{D}} \in {\rm{BC}}\), \({\rm{E}} \in {\rm{AC}},{\rm{F}} \in {\rm{AB}})\) cắt nhau tại \({\rm{H}}\).
a) Chứng minh \({\rm{AEHF}}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \({\rm{O}}\) là trung diểm của đoạn thẳng \({\rm{BC}},{\rm{M}}\) là giao điểm của tia \({\rm{EF}}\) và tia \({\rm{CB}}\). Chứng minh rằng \(\angle {{\rm{FAD}}} = \angle {{\rm{OFC}}}\) và \({\rm{O}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{OD}} \cdot {\rm{OM}}\).
c) Chứng minh rằng hai đường thẳng \({\rm{MH}}\) và \({\rm{AO}}\) vuông góc với nhau.
Quảng cáo
a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác AEHF có \(\angle AFH = \angle AEH = {90^0}\) (do BE, CF là đường cao)
\( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEHF nội tiếp (dhnb) (đpcm)
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, M là giao điểm của tia EF và tia CB. Chứng minh rằng \(\angle FAD = \angle OFC\) và \(O{C^2} = OD.OM\).
+) Chứng minh \(\angle FAD = \angle OFC\)
Ta có \(\angle AFC = \angle ADC = {90^0}\) (do CE, AD là đường cao)
Mà F, D là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn AC dưới 2 góc bằng nhau nên AFDC nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle FAD = \angle FCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FD)
Mà tam giác BFC vuông tại F, trung tuyến FO nên OB = OC = OF (tính chất đường trung tuyến)
\( \Rightarrow \Delta OCF\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OFC = \angle OCF\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle OFC = \angle FAD\) (đpcm).
+) Chứng minh \(O{C^2} = OD.OM\)
Vì tứ giác AFDC là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle BAC = \angle BDF\) (góc ngoài và góc trong tại đối diện)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \angle BAC = {180^0} - \angle BDF\\ \Rightarrow \angle AFE + \angle AEF = \angle ODF\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét tứ giác BFEC có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)
Mà hai đỉnh F, E kề nhau cùng nhìn BC dưới hai góc bằng nhau
=> BFEC là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle AFE = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện)
Mặt khác tam giác BEC vuông tại E có trung tuyến EO ứng với cạnh huyền BC \( \Rightarrow OB = OC = OE \Rightarrow \Delta OEC\) cân tại O \( \Rightarrow \angle ACB = \angle OCE = \angle OEC\).
\( \Rightarrow \angle AFE = \angle OEC\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle OEC + \angle AEF = \angle ODF\\ \Rightarrow {180^0} - \angle OEF = \angle ODF\\ \Rightarrow \angle OEF + \angle ODF = {180^0}\end{array}\)
Ta có: \(OE = OF = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow \Delta OEF\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OEF = \angle OFE\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle OFE + \angle ODF = {180^0}\)
Mà \(\angle OFE + \angle OFM = {180^0}\) (kề bù)
\( \Rightarrow \angle ODF = \angle OFM\).
Xét \(\Delta ODF\) và \(\Delta OFM\) có:
\(\begin{array}{l}\angle FOM\,\,chung\\\angle ODF = \angle OFM\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ODF \sim \Delta OFM\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{OD}}{{OF}} = \dfrac{{OF}}{{OM}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow O{F^2} = OD.OM = O{C^2}\) (đpcm).
c) Chứng minh rằng hai đường thẳng MH và AO vuông góc với nhau.
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AG của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: \(\angle ABG = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AB \bot BG\).
Mà \(CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BG//CH\) (từ vuông góc đến song song).
Tương tự ta có: \(\angle ACG = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot GC\).
Mà \(BH \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BH//GC\) (từ vuông góc đến song song).
\( \Rightarrow BHCG\) là hình bình hành (dhnb)
=> Hai đường chéo BC và HG cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BC (gt) => O cũng là trung điểm của HG.
=> H, O, G thẳng hàng.
Gọi \(AM\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I.
Ta có \(MI.MA = MB.MC = ME.MF\) (do AIBC và BFEC là tứ giác nội tiếp)
\( \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AIH = \angle AFH = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH) \( \Rightarrow AI \bot IH\).
Mà \(\angle AIG = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) \( \Rightarrow AI \bot IG\).
\( \Rightarrow I,\,\,H,\,\,G\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow I,\,\,H,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.
Mà \(AI \bot IG \Rightarrow OI \bot AM\).
Xét tam giác OAM có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI \bot AM\,\,\left( {cmt} \right)\\AD \bot OM\,\,\left( {gt} \right)\\OI \cap AD = \left\{ H \right\}\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác OAM.
\( \Rightarrow MH\) là đường cao thứ ba ứng với cạnh AO.
Vậy \(MH \bot AO\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
