Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\left( {\dfrac{{x + 5y}}{{x + y}}} \right) = 2x -

Câu hỏi số 680188:

Vận dụng

Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\left( {\dfrac{{x + 5y}}{{x + y}}} \right) = 2x - 2y + 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x - 3{\log _3}y\) đạt được khi \(x = a\), \(y = b\). Giá trị của biểu thức \(\dfrac{3}{a} + \dfrac{6}{b}\) bằng

A. \(\dfrac{{27}}{{\ln 3}}\).

B. \(3\ln 3\).

C. \(\ln 3\).

D. \(\dfrac{3}{{\ln 3}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680188

Phương pháp giải

Đưa về hàm đặc trưng

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {\dfrac{{x + 5y}}{{x + y}}} \right) = 2x - 2y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5y} \right) - {\log _3}\left( {x + y} \right) = 2x - 2y + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5y} \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right) + 2x - 2y + {\log _3}3\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 5y} \right) + x + 5y = {\log _3}\left( {3x + 3y} \right) + 3x + 3y\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) với \(t > 0\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0\) nên hàm số luông đồng biến

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {x + 5y} \right) = f\left( {3x + 3y} \right)\\ \Leftrightarrow x + 5y = 3x + 3y\\ \Leftrightarrow x = y\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = x - 3{\log _3}y = x - 3{\log _3}x\\ \Rightarrow P' = 1 - \dfrac{3}{{x\ln 3}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{\ln 3}}\end{array}\)

Suy ra P đạt GTNN khi \(x = \dfrac{3}{{\ln 3}} = a \Rightarrow y = \dfrac{3}{{\ln 3}} = b\)

\( \Rightarrow \dfrac{3}{a} + \dfrac{6}{b} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{{\ln 3}}}} + \dfrac{6}{{\dfrac{3}{{\ln 3}}}} = 3\ln 3\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.