Trên tập số phức, cho phương trình: \({z^2} - 10z + \left| {m - 1} \right| = 0\) \(\left( {m \in \mathbb{R}}

Câu hỏi số 680189:

Vận dụng

Trên tập số phức, cho phương trình: \({z^2} - 10z + \left| {m - 1} \right| = 0\) \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;101} \right]\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt \({z_1}\) và\({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) là một số nguyên dương ?

A. \(41.\)

B. \(40.\)

C. \(42.\)

D. \(36.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680189

Phương pháp giải

Tính \(\Delta \) và chia trường hợp nghiệm thực, nghiệm phức

Giải chi tiết

\({z^2} - 10z + \left| {m - 1} \right| = 0\) (1)

\(\Delta ' = 25 - \left| {m - 1} \right|\)

TH1: Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| < 25 \Leftrightarrow - 24 < m < 26\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10 > 0\\{x_1}.{x_2} = \left| {m - 1} \right| > 0\end{array} \right.\) nên 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều dương

\( \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = {x_1} + {x_2} = 10\) là số nguyên dương nên \( - 24 < m < 26\) thỏa mãn.

Kết hợp \(m \in \left[ { - 10;101} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 10,25} \right]\) nên có 36 giá trị m thỏa mãn

TH2: Phương trình (1) có 2 nghiệm phức \({z_1} = a + bi,{z_2} = a - bi\)

\( \Rightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| > 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 26\\m < - 24\end{array} \right.\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2a = 10\\{z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = \left| {m - 1} \right|\end{array} \right.\)

Để \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|} \) là số nguyên dương

\( \Rightarrow \sqrt {\left| {m - 1} \right|} \) nguyên

Với \(m > 26,m \in \left[ { - 10;101} \right] \Rightarrow 26 < m \le 101 \Rightarrow 25 < m - 1 \le 100\)

\( \Rightarrow 5 < \sqrt {m - 1} \le 10 \Rightarrow \sqrt {m - 1} \in \left\{ {6,7,8,9,10} \right\} \Rightarrow m \in \left\{ {37,50,65,82,101} \right\}\)

Vậy có tất cả 36 + 6 = 41 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.